在最大独立集上承诺的上限的近似图着色

在我的工作中出现以下问题：

是否存在一种已知的算法，可以在没有独立的65阶集合的情况下近似图的色数？（因此，alpha（G）<= 64是已知的，| V | / 64是小数下限，| V |是小数上限。但是在这种特殊条件下是否有更好的证明的近似值？）

如果我们放松到分数色数怎么办？并在平均情况下达到“良好”的运行时间？

— cyrix42
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我认为这是该网站的一个很好的问题。希望有人能给我一个好的答案。

— Jukka Suomela 2011年

@TysonWilliams：我认为这个问题很清楚。忘记评论，重新阅读问题。:)

— Jukka Suomela 2011年

有趣的是，此条件保证平凡近似值是最佳近似值的64。我想知道是否只有一个较小的独立数的诺言能否提供更好的算法。

— Sasho Nikolov

问题是由实际应用引起的吗？如果是这样，则应该将注意力集中在将做得很好的有趣的启发式方法上-改进琐碎的64逼近并不是那么有趣。

— Chandra Chekuri 2011年

顺便说一句，如果您想快速找到分数色数的良好近似值，那么快速找到最大权重独立集的良好近似值就足够了。因此，这意味着一个新的问题：如果我们知道最大的独立设置有大小64，有一种算法，认定良好的最大重量组独立的近似远高于琐碎快 -时间的算法？

O (n^{64})

$O(n^{64})$

— Jukka Suomela 2011年

Answers:

计算输入图的补码中的最大匹配。每个不匹配的节点在任何颜色中都必须具有不同的颜色类别。因此：如果您至少获得cn个匹配的边缘，则匹配本身将为您提供着色，其上限为（1-c）n，近似比率为64（1-c）。如果您至少没有cn边缘，那么您将获得（1-2c）n个颜色的下限和大约1 /（1-2c）的比率。求解方程64（1-c）= 1 /（1-2c）会导致近似比略大于32；有关准确值，请参见Sasho Nikolov的评论。

— 大卫·埃普斯坦
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小校正：在第一种情况下，上限为（1-c）n，下限为n / 64，因此近似比率为（1-c）64。当您求解（1-c）64 = 1 /（1-2c）时，您将得到和逼近比。似乎给出的上限的为，该方法给出了一个近似比率变为作为趋向无穷大。

c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

— Sasho Nikolov

你可能会感兴趣的色数，也就是1加最大在所有子图的最低程度。它可以被有效地计算，并且是色数的上限。 $H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

— 安德鲁·金
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较小的校正：在贪婪的着色中，色号等于最小数目的颜色并不正确。如果您按照最佳着色的顶点颜色对顶点进行排序（具有第一个颜色类别为最大值，第二个颜色类别在其余图中为最大值的附加属性，等等），那么贪婪算法将找到相同的最佳着色。

— David Eppstein