在一般图中计算距离小于2的距离？

给定具有边的加权无向图，我想计算任意给定顶点对之间的近似距离小于2。当然，我想使用二次空间和次线性查询时间。 $m = o(n^2)$

我知道Zwick使用矩阵乘法的结果，但是我很好奇是否有任何组合算法可解决此问题？

ds.algorithms graph-algorithms

— 悉达多
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@Siddhartha大家好，很抱歉，这是一个愚蠢的问题：Zwick的结果似乎使用了二次空间，对吗？

— 张显之（张显之）

另外，是否允许加法误差？

— 张显之张显之

@ Hsien-ChihChang张显之-我只对乘法近似的结果感兴趣。就其本身而言，加法近似的情况可能会很有趣-我猜想对于密集图更容易。可以使用扳手并获得足够密集图的加法近似。就我所知，对于稀疏图，扳手将无济于事。

— Siddhartha

以下论点行不通吗？考虑具有

个顶点和

边的任何图

考虑所有边缘权重为

。严格比

更好的近似值的距离oracle可以用于确定每个可能的边，无论它是否在图中。但这当然意味着，这样的距离预言必须使用

位。没有？（该参数有点让人费解，但应该是正确的。）（，位数是，其中。这是。

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— 沙利叶的Har-佩莱德

谢谢Sariel-可能可以得出下限，但我对此表示满意。我只想拥有二次空间和次线性查询时间。对于具有边的图，下界并不能说明问题-是吗？

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha

Answers:

据我所知，在二次空间和次线性查询时间中，计算近似距离小于2的结果还没有公布。为了快速检索近似距离，您可能需要查看Baswana和Kavitha撰写的“用于所有对的近似最短路径的快速算法”中的结果和参考（FOCS论文的期刊版对相关工作进行了很好的回顾）；这些都没有达到二次空间。

为了紧凑地获取近似距离，您可能需要查看上面两篇论文中的结果和参考。[作为Gabor回答的补充，请注意：请谨慎使用上述论文中的稀疏性概念-对于近似，如果，则图是稀疏的，就像您可能已经知道]。 $2$ $m = o(n^2)$

正如Sariel在上述评论之一中指出的那样，用于计算小于的近似距离的空间的自然下限为，即图的大小是线性的。如果查询时间不受限制，则此下限将无法改善（通常，仅存储图形即可使用最短路径算法）。对于恒定的查询时间，我知道两个下限。首先，Patrascu和Roddity在他们的FOCS 2010论文中有一些条件下限，适用于小于近似值。第二，Sommer等。等对于极稀疏的图有一些下界。我不知道其他任何（非平凡的）下界。 $2$ $\Omega(m)$ $2$

就上限而言，上述论文的结果似乎并未推广到小于近似值。我们最近在这个问题上取得了一些进展。该论文应尽快在ArXiv上发布，但如果您愿意，请给我发送电子邮件，我很乐意分享该论文。 $2$

希望这可以帮助。

〜拉奇特·阿加瓦尔

— 拉奇特
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您可能对Rachit Agarwal的2011 INFOCOM文件感兴趣：

Rachit Agarwal，P.Brighten Godfrey，Sariel Har-Peled稀疏图中的近似距离查询和紧凑型路由，IEEE INFOCOM 2011

从摘要：

[对于]曲线图与平均度，我们的数据结构的特殊情况下，检索拉伸2条路径与空间[...]在成本查询时间。 $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

请注意，它们的距离预言仅适用于稀疏图，但是对数度界限似乎是合理的。此外，该算法还适用于加权图。

— 加博尔·雷特瓦里（Gabor Retvari）
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您可能还想看看

帕特拉库（Pătraşcu），罗迪蒂（Rodtyty），超越甲骨文的远方神谕者-茨维克·邦德（Zwick Bound），FOCS 2010

它们的距离预言范围为，范围为2。它支持恒定时间的查询。 $O(n^{5/3})$

— 唑他定
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谢谢！来自Agrawal和Mihai的论文似乎没有对近似值“小于” 2说什么，除非我错过了一些东西。

— Siddhartha

并非如此，但它可能会给您一个有关如何权衡以改善拉伸范围的想法。

— zotachidil