分解亚模函数

给定亚模函数 $f$ 上 $\Omega=X_1\cup X_2$ 哪里 $X_1$ 和 $X_2$ 不相交 $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ 。这里 $f_1$ 和 $f_2$ 在亚模上 $X_1$ 和 $X_2$ 分别。

这里 $X_1,X_2,f_1,f_2$ 是未知的，只有值查询访问 $f$ 给出。然后有一个多时算法可以找到 $X_1$ 。如果有多个选择 $X_1$ 他们中的任何一个都应该没问题。

一些想法。如果我们能找到任何两个元素 $t_1,t_2$ 这样两者都属于 $X_1$ 或属于 $X_2$ 然后我们可以合并它们并递归进行。但是目前尚不清楚如何实施这一步骤。

ds.algorithms submodularity

— 阿什温库马尔有限公司
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你是说那个吗

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$ 哪里

f_{1}

$f_1$ 和

f_{2}

$f_2$ 在亚模上

X_{1}

$X_1$ 和

X_{2}

$X_2$ 分别？

— Chandra Chekuri 2011年

是的，我确实是那个意思。感谢您指出错字，我将予以纠正。

— Ashwinkumar BV

我不确定我在下面说的是否正确，但这是个主意。取任意元素

e \in Ω

$e \in \Omega$ 。如果

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ 然后

e

$e$ 不受其余元素的影响，因此我们可以选择

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$ 和

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$ 。否则让

X

$X$ 是...的包含子最小子集

Ω - e

$\Omega-e$ 这样

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$ 。那样看来

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$ 应该在相同的分区中，因此我们可以将集合缩小为单个元素，如果它远小于

Ω

$\Omega$ ，否则我们得出结论，不存在所需的分区。

— Chandra Chekuri 2011年

决定把评论变成答案。

— Chandra Chekuri 2011年

取任意元素 $e \in \Omega$ 。如果 $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ 然后 $e$ 不受其余元素的影响，因此我们可以选择 $X_1 = \{e\}$ 和 $X_2 = \Omega-\{e\}$ 。否则让 $X$ 是...的包含子最小子集 $\Omega-e$ 这样 $f(e) > f_X(e)$ 。然后 $X \cup \{e\}$ 应该在同一分区中。如果 $X \cup \{e\} = \Omega$ 我们得出结论，没有所需的分区，否则，我们将此集合缩小为单个元素并递归。

— 钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）
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