来自形式语言理论的Semiring示例

我正在学习解析的代数理论。我的第一个问题是确定特定于形式语言理论的半环示例。这是尝试构造两个示例。

1给定CNF语法，半环的元素是带有操作的终端和非终端符号集：

i）乘法，根据CYK规则将两个集合成对连接。例如给定的CNF语法

s: p p | q r
t: p q
u: q q

然后

$\{p,q,r\}\otimes \{p,r\} = \{s,t\}$

ii）加法设置为并集，例如

$\{p,q\}\oplus \{q,r\} = \{p,q,r\}$

不幸的是，乘法不是关联的。

2第二个半圆环的元素不是符号集，而是语法规则（不一定在CNF中），并对其位置进行了修改。操作是

i）乘法，根据Earley完整规则连接所有匹配的元素对。例如给定的CNF语法

s: p q r 
r: s t | u

然后

$\{s: p \bullet q r,s: p q \bullet r\}\otimes \{r: u \bullet \} = \{s: p q r \bullet \}$

ii）加法还是集合的并集

$\{s: p \bullet q r, r: \bullet s t\}\oplus \{r: u \bullet \} = \{s: p \bullet q r, r: \bullet s t, r: u \bullet\}$

这个例子也是有缺陷的。

将元素作为语法规则集并将乘法作为规则替换的半圆环似乎可以正常工作。然而，这只是变相的关系代数。实际上，让我们将每个语法规则视为等价类-一组由规则的应用程序相关的由末尾字母组成的单词对

$[t : s a] = \{ (t,sa),(ta,saa),(bt,bsa),(abt,absa),... \}$

那么，语法中单词的识别是一系列关系组成的，例如

$[t:sa] \otimes [s:aa] \otimes \{(aaa,aaa)\} = \{(t,aaa)\}$

（此多项式让人联想到Josh Goodman博士论文中的半环解析器多项式；但是，让我们重申，通过采用多项式和矩阵构造新的半环在这里并不重要）。

因此，问题仍然存在：形式语言的半圆环是否超过字母$\Sigma$ 唯一的例子？

与语言理论有关的半环有很多。首先，布尔半环。其次，在有限联合和（并置）乘积下封闭的任何一类语言都是所有语言半环的替代。例如，有理（=常规）语言形成半环。另请参阅Kleene代数的相关概念。

的 $k \times k$半环上的矩阵确实形成半环。特别是，布尔半环上的矩阵会编码不确定的有限自动机，而稍大的半环上的矩阵会编码$\{-\infty, 0, 1\}$编码Büchi自动机的过渡。用半环上的矩阵刻画有理级数。

该热带半环，特别是$(\mathbb{N} \cup \{+\infty\}, \min, +)$ 和 $(\mathbb{N} \cup \{-\infty\}, \max, +)$在自动机理论中扮演着重要角色。他们还导致了数学的新分支，即热带几何学。

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我认为您可以根据Earley规则设计出更多半环。进行预测。您可以形成二进制运算符$S\otimes_{p,k} T = S \cup \bigcup (Y: \bullet \gamma$，k）$，以使联盟超出所有相关的现有规则。然后，该算法首先将第一个Earley状态集计算为运算符中的一个无限但最终重复（如此有限）的乘积：

$S(0) = \bigotimes_{p,0}^{\infty} S_0(0)$。我不知道这是否与工会形成半环。也许它也与其他操作形成了关系。