在平面图上找到具有共同来源的最小-最大顶点不相交路径

给定的平面非加权曲线图，顶点对的集合（为常数），发现顶点不相交（除了源）从路径到使得最长路径的长度被最小化。 $(s,t_1),\dots,(s,t_k)$ $k\ge2$ $k$ $s$ $t_i$

问题：是否有多项式时间算法可以解决该问题？

一些相关结果：

如果不固定，即使，问题也是NP-难的； $k$ $t_1=\dots=t_k$
如果输入图被加权并且路径的来源不重合，即路径是那么即使，问题也是NP-难的； $(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$ $k=2$
具有不同目标的问题，即最小化路径长度的总和是
- 可以用最小成本流算法来求解一致的源；
- NP-hard适用于非一致源和一般； $k$
- 对不重合的源开放，常数。 $k$

ds.algorithms graph-algorithms

似乎有许多相关结果。您可以总结问题中的重要相关结果吗？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

输入图G是否已加权（即，每个边都有正整数长度）？我一直以为G没有加权，但是我已经意识到您可能将这两种设置混合在一起：（1）如果G加权了，则k = 2的情况基本上是本文定理14中的NP完全式。您链接到的Kobayashi和Sommer，也与我在回答中引用的[HP02]第2节的最后一段基本相同。（2）如果不对G加权，那么我将无法理解为什么Kobayashi和Sommer的论文在k = 2且来源不同的情况下暗示了NP硬度。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

在我的设置中，图表未加权，因此您是对的：在K = 2和不同来源的情况下，我对NP硬度的主张是（可能）错误的。

— 谢尔盖·普皮列夫

考虑到伊藤刚的评论，我更新了问题说明。

— 谢尔盖·普皮列夫

这并不是您所要的，但如果k不是常数而是输入的一部分，则问题是NP完全的。

这是根据定理1的在厢式证明DER霍尔斯和德皮纳[HP02]，这表示：给定一个平面图ģ，不同顶点小号和吨在ģ，和正整数ķ和b，它是一个NP完全决定在s和t之间是否存在k个成对的内部顶点不相交路径，每个路径的长度至多为b。

请注意，定理1陈述中的问题在两个方面与您的不同。正如我提到的，一个区别是k作为输入的一部分给出。另一个是[HP02]中的问题是关于具有公共端点的路径，而不是具有公共源和不同接收器的路径。我不知道如何解决第一个差异。差异如此之大，以至于我们可能需要一个完全不同的证明来确定k。但是我至少知道如何解决第二个差异。

[HP02]中的定理1的证明给出了3SAT的简化。此约简具有以下属性：在通过约简构造的实例（G，s，t，k，b）中，顶点的度t始终等于k。让牛逼₁，...，牛逼_ķ是ķ的邻居牛逼。然后，不问在s和t之间是否存在k个成对的内部顶点不相交路径，每个路径的长度至多为b，我们可以同样地询问是否存在成对的顶点不相交-除源路径P ₁，...，P _k，使得每个P _i是s和t _i之间的长度最大为b -1 的路径。

[HP02] H. van der Holst和JC de Pina。平面图中的长度限制的不相交路径。 离散的应用数学，120（1-3）：251-261，2002.八月 http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3

— 伊藤刚
source

k

$k$

k

$k$

@SergeyPupyrev：您写道k是一个常数。（您之所以写这本书，是因为您知道它的意思，不是吗？）从我从对相关论文的粗略了解中可以了解到，在相关问题中k是否为常数似乎似乎对k的当前状态产生了巨大影响。问题的复杂性。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

k

$k$

k

$k$

@SergeyPupyrev：在k为常数的情况下，我找不到找到说明复杂度的论文，但这仅意味着我不知道。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）