计算Mobius函数

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Mobius函数定义为，如果具有素数平方，则，并且如果所有素数不相同。是否有可能来计算，而不计算的因式分解？ $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ $n$

comp-number-theory

— 克雷格·费恩斯坦
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6

我认为他只是在问是否存在一种计算，而该方法还不提供分解。

μ (n)

$\mu(n)$

— Suresh Venkat

2

@Kaveh，这里我不是在谈论计算复杂性。苏雷什的解释是正确的。这类似于确定一个数字是否为合成而不确定其因式分解。Mobius函数也可以执行类似的操作吗？

— Craig Feinstein

1

我认为这不是一个真正的问题。我想这可能是提醒你，上cstheory我们有严格的有用对曲柄友好主题的政策的情况下，您尝试公布的观念这些。

— 卡夫

3

@Kaveh，我问了一个严肃的问题，得到了4个大拇指。当然，我的答案下降了8个大拇指，但这就是生活。直到今天我才知道我对该问题的答案，所以我发布了答案。在我看来，您好像是在声称自己某种别有用心，试图排斥我。我可以向您保证，除了得到这个问题的答案之外，我别无其他动机。

— 克雷格·费恩斯坦

5

@Kaveh：OP是一个知名的三部门组织，在多个论坛上都有。也就是说，您见过他对某人无礼吗？我没有他只是误解了证明下界的含义。这个问题对我来说似乎是个话题。有一句俗语：“即使停下来的时钟一天也要两次。”

— 亚伦·斯特林

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对于您的问题，一个无法回答的问题是，P本身不知道SQUARE-FREE（是一个无平方数的数字），并且计算Möbius函数将解决此问题（因为无平方数的数）。 $\mu(n) \neq 0$

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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7

您知道讨论平方自由度复杂性的论文吗？我所能找到的就是：dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDE，它给出了公式大小的下界。看着mathoverflow.net/questions/16098/…，我认为关于它是否有可能减少平方自由度的因素知之甚少。

— Sasho Nikolov

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对于其他非的答案，你可能会感兴趣的萨纳克猜想（见例如http://gilkalai.wordpress.com/2011/02/21/the-ac0-prime-number-conjecture/，HTTP：//rjlipton.wordpress的.com / 2011/02/23 /的深度的最-莫比乌斯功能/，/mathpro/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function），其基本上说Möbius函数与任何“简单”布尔函数都不相关。当将“简单”解释为多项式时间时，期望它应该成立并不无道理。到目前为止，我们知道该猜想适用于函数（由Ben Green证明）和所有单调函数（由Jean Bourgain证明）。 $\mathrm{AC}^0$

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek）3.0
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4

我认为这是Ben Green文件：arxiv.org/abs/1103.4991

— Suresh Venkat

0

与mobious函数的值相关的递归公式之一是但是为了找到我们需要知道的mobious值。因此在这里，我们将除以较小的正整数，当具有平方因子时，我们不必知道它们是否是因子！（），但是我们仍然必须知道的因素才能得出结论！因此，我们有：

\sum_{m \leq n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$

μ (n)

$\mu(n)$

m < n

$m < n$

μ (n) = 1 - \sum_{m < n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$

n

$n$

m < n

$m<n$

n

$n$

m

$m$

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$

m

$m$

\begin{aligned} μ (n) = & 1 - \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \sum_{a_{3} < a_{2}} ⌊ \frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$ 有关该公式的证明，请参见本文：https : //projecteuclid.org/euclid.mjms/1513306829。

— 洪德埃巴
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我喜欢你的回答。不幸的是，我无权访问该文章。我将与您讨论关于知道n的因数的问题：假设。使用该公式，除以5，再使用长除法，您发现24乘以5等于120，而余数为0，因此在计算120/5的最大整数函数的过程中，发现5是120的因数，即使尽管对于公式起作用，不必知道这一事实。

n = 120

$n=120$

— Craig Feinstein

检查编辑版本！@Craig

— Hunde Eba

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令，其中是不同的素数。然后然后要计算，有必要为每个计算。这暗含地需要认识到是的素因式分解。 $n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

μ (n) = μ (p_{1} \dots p_{k}) = μ (p_{1}) \dots μ (p_{k}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

这是一个比喻：为了知道一个罐子里是否有奇数或偶数个软糖，一个人必须算上软糖。这就是为什么当数字不能被平方整除时，必须计算数字的素因式分解以计算其Mobius函数的原因。但是，要知道一个罐子中有多个软糖，就不必检查罐子中的任何软糖。只需摇晃罐子，然后听到有不止一个软心豆粒糖。这就是为什么您不必分解数字就知道它是复合的原因。像费马小定理这样的算法允许人们“摇一摇数字”以知道它是合成的。

当被一个平方整除时，您不必计算的素因式分解。但是，您确实必须找到的非平凡因子：如果是平方，则要确定它是平方，必须取其平方根，在其中找到的非微分因子。当然，如果不是正方形，但仍然不是无平方的，为了确定，有必要找到的非平凡因子。 $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— 克雷格·费恩斯坦
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6

@克雷格仍然是错误的。对于复合测试问题，您可以使用与Peter Shor相同的（谬误）论点。您基本上是在为您的问题提供一种算法，并指出这是唯一的解决方法。证明显而易见的算法是解决问题的最佳方法，这是复杂性理论面临的最大挑战之一。

— 迈克尔·布朗丹

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我将尝试举一个例子。考虑将两个矩阵A和B的大小乘以。AB的定义是。因此，根据您的类型的参数，这意味着AB 必须在距其定义的时间进行计算。但是，众所周知，可以在时间计算AB 。如果您在这里可以看到所谓的参数失败的原因，那么您应该可以在答案中看到它的失败原因。

n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$

— 迈克尔·布朗丹

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关于“要知道一个罐子里是否有奇数或偶数的软心豆粒，必须数一下这些软心豆粒。” -即使不是这样。您可以成对地将它们拔出（一个给我一个给您一个……），而不必在实际使用时数数。然后，当您用尽了成对的拉力时，您剩下的零或一，您就知道了奇偶校验。

— David Eppstein

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对于难以计数但容易进行奇偶校验的问题，请考虑0-1矩阵的永久性。（这与二部图中完美匹配的次数相同。）永久物的奇偶性与行列式的奇偶性相同，后者可以在多项式时间内计算。但是评估永久性是#P完全的，因此是NP困难的。

M

$M$

— 彼得·索尔

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Craig没有将其分解为素数，是的，通过计算整数平方根（与分解不同，已知在多项式时间内可计算），它为69 ^ 2。我不必考虑因数69。您的bean论点建议因数分解是强制性的，因为您必须查看每个果冻以检查每种风味是否出现了偶数次。

— sdcvvc 2011年