矩阵乘法指数

通俗地讲，矩阵乘法指数的定义是存在已知的矩阵乘法算法的最小值。作为正式的数学定义，这是不可接受的，因此我想技术定义就像是整个t的最小值，因此n t中存在矩阵乘法算法。ñ $\omega$$n^{\omega}$$t$$n^t$

在这种情况下，不能说有一个算法矩阵乘法$n^{\omega}$甚至$n^{\omega + o(1)}$，仅仅是对于所有在存在一个算法。但是，使用矩阵乘法的论文和结果通常会简单地将其成本报告为。Ñ ω + ε Ö （Ñ ω$\epsilon > 0$$n^{\omega + \epsilon}$$O(n^{\omega})$

有其他替代定义可以使用吗？是否有保证时间的算法任何结果ñ ω或ñ ω + Ö （1 ）必须存在？或者是使用Ø （ñ ω）只是马虎？$\omega$$n^{\omega}$$n^{\omega + o(1)}$$O(n^{\omega})$

矩阵乘法指数为不保证有一个算法，在时间运行Ö （Ñ ω），但只为每个ε > 0，存在一种算法，在运行Ö （Ñ ω + ε）。确实，如果您找到一种在时间O （n 2 p o l y l o g（n ））上运行的算法，则表明ω = 2。$\omega$$O(n^\omega)$$\epsilon > 0$$O(n^{\omega+\epsilon})$$O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$$\omega = 2$

您可以在PeterBürgisser，Michael Clausen，Amin Shokrollahi撰写的《代数复杂性理论》一书中找到正式定义。

次要评论，太长了，无法发表评论：

有时，当您遇到一个问题，对于每一个ϵ > 0，都有一个运行时间为的算法，那么就有一个运行时间为n k + o （1 ）的算法。$O(n^{k+\epsilon})$$\epsilon>0$$n^{k+o(1)}$

例如，有时你能像算法对于一些快速成长的函数˚F（如2 2 1 / ε）。如果将f （1 / ϵ ）设置为（n）log n，则ϵ将为o（1）。在f （1 / ϵ ）为2 2 1 / ϵ的示例中，您可以选择1 /$f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$$f$$2^{2^{1/\epsilon}}$$f(1/\epsilon)$$\log n$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$$2^{2^{1/\epsilon}}$$1/\epsilon$成为，得到ϵ = 1 /（log log log n ），即o（1）。所以该算法的最终运行时间将是Ñ ķ + Ö （1 ）中，由于日志Ñ也Ñ Ô （1 ）。$\log \log \log n$$\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$$n^{k+o(1)}$$\log n$$n^{o(1)}$

据公知的结果即铜匠和的Winograd的 -time不能由任何单一的算法来实现。但是我已经读到它们只限于基于类似于Strassen的双线性身份的算法，所以我不确定，因为本文是在付费墙后面。$O(n^{\omega})$

我没有在这个问题你的说法不被明确定义“对此有一个已知的最小值ñ ω矩阵乘法算法。” 当人们在使用这个常量，那是因为他们的算法依赖于矩阵乘法，并通过复杂ñ ω，他们的意思是“我们的算法的最佳复杂性是由矩阵乘法的最优算法给出。”$\omega$$n^ω$$n^\omega$

我并不是说不可能以其他方式定义（例如，说ω是最佳可实现的复杂度）。$\omega$$\omega$

顺便说一句，如果我没有记错的话，矩阵乘法上限已经提高到2.3737。 $2.3737$