从DFA到正则表达式的已知算法

我想知道是否有一种从DFA 开始并构造一个正则表达式r使得L （A）= L （r ）的``更好''（我将在什么意义上解释）算法，而不是Hopcroft and Ullman（1979）的书。在这里，集合R k i j用于表示将DFA从状态q i转移到q j而不经过任何高于k的状态的字符串集合。尽管显然是正确的并且非常有用，但是这种构造是技术性的。$\mathcal{A}$$r$$L(\mathcal{A})=L(r)$$R_{ij}^k$$q_i$$q_j$$k$

我正在撰写有关代数自动机理论的专着，但我不想分散太多技术细节（至少不会与我想显示的结果无关的细节）来分散听众的注意力，但我确实希望包括为完整性起见，证明DFA与正则表达式之间的等效性。作为记录，我正在使用Glushkov自动机将正则表达式转换为DFA。它似乎比更直观，我完全没有定义它（再次，因为我不需要它们）。$\varepsilon$

从DFA到正则表达式还有哪些其他已知算法？我重视简单性而不是效率（在这种情况下，这对我来说``更好''），但这不是必须的。

在此先感谢您的帮助！

另外两种构造：Brzozowski-McCluskey aka状态消除[1]和使用Arden引理的方程组中的高斯消除。关于这些的最佳资料可能是雅克·萨卡罗维奇（Jacques Sakarovitch）的书[2]。

[1] J. Brzozowski和E. McCluskey Jr.，《用于顺序电路状态图的信号流图技术》，《电子计算机上的IEEE交易EC-12（1963）67-76》。

[2] J. Sakarovitch，自动机理论的要素。剑桥大学出版社，2009年。

Kozen的著作《自动机和可计算性》提到了这种Floyd-Warshall算法的优雅概括。由于您提到了吸引代数学家，您可能会发现它很有用。您会在该文本的第58-59页找到它。（我认为Google图书有预览。）

$2 \times 2$

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix} (a+bd^*c)^* & (a+bd^*c)^*bd^* \\ (d+ca^*b)^*ca^* & (d+ca^*b)^* \end{bmatrix}$

$i,j$$i$$j$

$n \times n$$a,b,c,d$$m\times m$$m\times (n-m)$$(n-m) \times m$$(n-m) \times (n-m)$$2 \times 2$$2 \times 2$

$n$$T$$\sum_{f \in F} (T^*)_{s,f}$$s$$T^*$

$m=1$$R_{ij}^k$

Kleene代数结构在矩阵上的另一个派生出现在Kozen的Kleene代数和常规事件代数的完备性定理中。

到目前为止，我所看到的最好的过程是Sylvain提到的过程。特别是，它似乎比其他表达式更简洁。

去年夏天，我写了这份文件解释了针对学生的方法。它直接与特定的讲座有关；提到的参考文献是正则表达式的典型定义。包含Arden引理的证明；缺少一种方法的正确性。不幸的是，据我在演讲中了解到的，我没有参考。