比“无向”变体容易的“有向”问题。

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我当时正在做一个关于煎饼分类的讲座，并提到：

这让我开始思考。从某种意义上说，“符号”排序是“定向”的-您可以将符号视为一个方向（实际上，这是进化生物学的动力）。但这是一个更简单的问题！这是不寻常的，因为通常（至少在图形上）有针对性的问题要比无向问题更困难（或至少同样困难）。

假设对“有向”进行了宽泛的定义，是否有比无向对等问题更容易解决的有向性问题的示例？

ds.algorithms

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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2

您可以将Horn 3SAT（每个子句都可以表示为（A AND B）

C）视为有向子句，因为它们可能被视为含意。因此，这里的定向情况很容易，而无方向的3SAT很难。

\to

$\to$

— Mohammad Al-Turkistany

1

我想知道我正在教的一个班级有一个类似的问题（我们使用LP来近似IP解决方案）：是否存在一类问题，即找到整数解比找到合理的解更容易

— Gopi

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使用BEST定理可以在多项式时间内对有向图进行欧拉回路计数，而显然，无向图的相同问题是＃P-complete。

— 蒂莫西·孙（Timothy Sun）
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所有的答案都很好，但是如果我必须接受，那是因为差距很大而且问题很明确。

— Suresh Venkat

15

$G$ $r$ $G$ $k$ $r$ $k=1$ $k$ $k=2$ $2$

— 钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）
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也许这不是最好的例子，但是考虑（定向）循环覆盖，其中的任务是通过顶点不相交（定向）循环覆盖所有顶点。在有针对性的情况下，可以将其简化为二分匹配，并在多项式时间内求解。在无方向情况下，该问题可以简化为非二分匹配（反之亦然），这是一个较难的问题，但仍可以多项式时间求解。

— 丹尼尔·马克思
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G

$G$

G

$G$

G

$G$

这绝对是一个很好的例子，并且按照我问这个问题时的想法。

— Suresh Venkat

2

我总是有一种印象，即在有向图上“涉及循环的问题”更容易。也许背后有一些原理，例如2个连接的组件比强连接的组件具有“更少的结构”（“涉及循环的问题” =可以通过分别查看每个组件来解决的问题）。

— 迭戈·德·埃斯特拉达

3

迭戈（Diego）：如果有向封闭式走过顶点v，则有一个有向循环经过v。类似的陈述对无向图不成立。因此，在有向图中，通常我们可以推理行走而不是循环。与循环相比，步行更健壮且图形理论更少，这可能是一个优势。也许这是对您印象的正式解释。

— 丹尼尔·马克思

9

正如我最近意识到的那样，在这个问题上，无向图实际上比有向图看起来更难。

$m\sqrt{n}\log C$ $m$ $n$ $C$ $n^3, mn\log n$

$m\sqrt{n}\log C$ $n^3, mn\log n$

— 维吉
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但是这里的“困难”只是相对于我们所知道的算法的（多项式）运行时而言。当然，可能是我们缺少了某种技术

— virgi 2011年

2

那是另一个有趣的例子。ps祝贺这一惊人的新结果。

— Suresh Venkat

1

谢谢，Suresh！另一方面，我只是注意到ilyaraz在评论Daniel Marx的答案时得到了我的答案……对不起，重复。

— virgi 2011年