无限大但局部有限的计算问题

这个问题的灵感来自Jukka Suomela对另一个问题的评论。

无限大但局部有限的计算问题（和算法）的示例是什么？

换句话说，什么是在有限时间内停止的计算示例，其中每台图灵机仅读取和处理有限数据，但是如果有无数的图灵机联网在一起，则该计算可以解决无限大的问题？

只是给出一些可能的想法（但并非不平凡），这里有一个示例：一种分布式算法，可在有界度图上找到最大的边缘包。

问题定义

给出一个简单的无向图，一个边缘的包装（或分数匹配）的重量相关联瓦特（ë ）与每个边缘Ë ∈ Ë使得对于每个节点v ∈ V，边入射到总重量v最多为1。如果入射边缘的总权重等于1，则节点处于饱和状态。如果所有边缘都具有至少一个饱和端点，则边缘堆积是最大的（即，没有一个权重可以贪婪地扩展）。$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

观察到的匹配的最大限定了最大边缘填料（集瓦特（ë ）= 1当且仅当Ë ∈ 中号）; 因此，在经典的集中式环境中（假设G是有限的）很容易解决。$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

边缘填充实际上有一些应用，至少如果在通常的TCS意义上定义了一种应用：饱和节点集形成最小顶点覆盖率的近似值（当然，这仅在有限G的情况下才有意义） 。$2$$G$

计算模型

我们假设有一个全局常量这样，任何程度v ∈ V至多是Δ。$\Delta$$v \in V$$\Delta$

为了使它与原始问题的精神保持紧密联系，让我们按以下方式定义计算模型。我们假定每个节点是图灵机，和边缘{ ü ，v } ∈ Ë之间的通信信道ü和v。的输入带v编码度度（v ）的v。对于每个v ∈ V，边缘入射到v与整数标记的（以任意顺序）1 ，2 ，$v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; 这些被称为局部边缘的标签（的标签 { ü ，v } ∈ Ë可针对不同的 ü和 v）。机器具有可以通过这些边沿发送和接收消息的指令。一台机器可以通过使用本地边缘标签来寻址其邻居。$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

我们要求机器为G计算有效的边缘填充。更精确地，每个v ∈ V具有在其输出带打印的编码瓦特（ë ）对于每个边缘ë入射到v，通过局部边缘标签排序，并且然后停止。$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

我们说一个分布式算法发现在时间的最大边缘填料Ť，如果下式成立对任意一个图ģ最大程度的Δ，而对于任何本地边缘标记ģ：如果我们替换的每个节点ģ用的相同副本在图灵机A上启动机器，然后在T步之后，所有机器都已打印有效（全局一致）的解决方案并暂停。$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

无穷

现在，即使节点的集合是无穷无穷的，上述所有内容也很有意义。$V$

问题表述和计算模型没有对引用。V | ，直接或间接。每个图灵机的输入长度受一个常数限制。$|V|$

什么是已知的

即使是无限的，也可以在有限的时间内解决问题。$G$

从某种意义上说是必要的沟通，这个问题是不平凡的。而且，运行时间取决于。但是，对于任何固定的Δ，无论G的大小如何，都可以在固定时间内解决该问题；特别是，这个问题在无限大的图上是可以解决的。$\Delta$$\Delta$$G$

我没有检查上面定义的模型（这不是该领域中常用的模型）中最知名的运行时间。不过，以为多项式的运行时间应该很容易实现，并且我认为以Δ为亚线性的运行时间是不可能的。$\Delta$$\Delta$

寻找下一代细胞自动机。

可以按照您在固定时间内描述的方法解决。 $\;$ （即，与输入无关）

本质上，每个至少与着色一样困难的问题都需要一种算法，其运行时间取决于网络中节点的数量，因此无法在无限但局部有限的图中工作。这是从Linial的开创性log * n下限得出的。

$AC^0$$AC^0$