有弱的gegebra同态之类的东西吗？

给定一个endofunctor，我们可以将观测函数定义为对任何 -coalgebra 都是多态的函数，即对任何 -coalgebra都定义了。另一角度看待观测函数是作为最终代数（如果存在）的函数。我们通过将具有唯一同态性的观察函数与最终的 coalgebra 组合来自动获得多态性。但这仅在最终的 -coalgebra存在的情况下有效。 $F : Set \rightarrow Set$ $F$ $obs$ $F$ $\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to B

$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$

F

$F$

F

$F$

F

$F$

观察函数的定义特征之一是，由于其多态性，它消除了在右边组成的任何恒星同态。如果是代数同态，则：在我的研究中，为了定义一个与另一个之间的观测一致性的概念，我想到了弱的cogebra同态。我们的想法是，如果我们提前知道观测函数，就可以“伪造”一个代数同构。因此，我们可能满足但仅满足于一个特定的。 $hom$ $F$

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

o b s

$obs$

例如，设，并将定义为也就是说，取的前两个元素流。 $FX = \{0,1\} \times X$ $obs$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to {0, 1}^{2}

$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$

o b s = ⟨ (π_{1} \circ c), (π_{1} \circ c \circ π_{2} \circ c) ⟩

$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$

o b s

$obs$

然后，F-coalgebra同构将需要确保保留流的所有元素，而的弱同构只需要保留流的前两个元素。 $obs$

在我的研究中，通过显示每个有限线性观测函数从第一个代数到第二个代数都具有弱的同态性，可以用一个概念证明一个代数与另一个代数保持一致。换句话说，在第一个代数上的每个有限线性观测值都可以在第二个代数上再现。

（我的意思是线性观察函数与大多数人无关，但是为了共享……线性观察函数或多或少地只使用了载波集的每个状态一次。我正在尝试对一个oracle进行建模，并且不允许用户返回并假装它从未问过问题。）

因此，我的问题是：

有研究过吗？是否已经以其他名称存在“弱的凝聚态同态”？
有没有更多的“范畴论”方法来表达这一点？

编辑：删除了两个不是那么重要的问题。

ct.category-theory

— 弗朗西斯科·莫塔（Francisco Mota）
source

是否有理由认为计算机科学问答站点是解决此问题的正确地方？

— Sasho Nikolov

是。 coalgebras在计算机科学中有应用，并且在进行计算机科学研究时提出了这个问题。另外，在cstheory.stackexchange上还有关于 -coalgebras的其他问题。

F

$F$

F

$F$

— Francisco Mota

作为计算机科学应用的一个例子，不可区分性的概念（有时用在密码学中）可以用弱同态来定义。

— Francisco Mota

我很想知道参考资料已完成并用于证明某些内容。

— Sasho Nikolov

本文：citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary？doi = 10.1.1.11.7571上面似乎有一个与“弱同态”非常相似的想法。但是定义略有不同，我不知道它是否确实一致。它定义了一个观察者，我还不知道，并且它定义了弱同态为之间和为函数这样该但是我还不知道什么手段。

O

$O$

O

$O$

⟨ A, α ⟩

$\langle A, \alpha \rangle$

⟨ B, β ⟩

$\langle B, \beta \rangle$

f : A \to B

$f: A \to B$

β^{O} \circ f = O (f) \circ α^{O}

$\beta^O \circ f = O(f) \circ \alpha^O$

O

$O$

— Francisco Mota

Answers:

您所描述的“弱态射影”的名称确实受到了一些限制。正如我将解释的，它们也可以很一般地定义。

在保留弱回调的情况下（上的许多自然函子确实如此），已知行为等价与煤代数双相似性重合。然后，您的射素称为函数步双仿真，其中是序数。诚然，我只见过它们是为普通。在加入代数之前，模态逻辑学家已经研究了Kripke框架的n步双模拟，这相当于功率集函子的n阶双模拟。您要求它们是函数而不是关系的要求使它们成为函数 n步双仿真。 $T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ $\mathsf{Set}$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha \leq \omega$

另一方面，您可以在更笼统的环境中定义您正在谈论的概念，而无需引用代数双仿真。对于具有序数索引共链限制的任何类别和任何函子都可以定义的末端序列。关于限制的条件实际上相当弱，例如，许多类别（包括）实际上是完整的，即具有所有小的限制。终端序列是，看起来像： $\mathbb{C}$ $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $T$ $\mathsf{Set}$ $\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

这里是的终端对象（空共链的限制）。例如，在可以将其视为一个元素集。映射是终端对象的唯一形态，例如，在它只是将每个元素映射到。每个是通过迭代来计算的，并且是其前面的共链的极限。然后，如有必要，可以超越。直观是收集 $1$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{Set}$ $1 = \{*\}$ $!_{T1} : T1 \to 1$ $\mathsf{Set}$ $T1$ $*$ $T^n 1$ $T$ $T^\omega 1$ $\omega$ $T^\alpha 1$ $\alpha$ 行为。

现在任何 -coalgebra诱导超过该序列即集合的锥形 -morphisms为每个顺序。我将它们定义为： $T$ $(Z,\gamma)$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$ $\alpha$ $\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$ 是进入终端对象的唯一映射。

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

直观地，这些映射将的状态发送到其步行为。现在我们可以描述您在说什么。假设我们有两个 coalgebras和。然后 -morphism保留 -step行为iff： $Z$ $\alpha$ $T$ $(A,\gamma)$ $(B,\delta)$ $\mathbb{C}$ $f : A \to B$ $\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

也就是说，的-step行为在正是的-step行为在。 $\alpha$ $f(z)$ $\delta$ $\alpha$ $z$ $\gamma$

无论如何，我希望这会有所帮助。您可以通过搜索“末端序列合并”或“最终序列合并”来找到各种参考。

— 抢
source

感谢您提供的翔实答案！我有一句话和一个问题。备注：我的文章中的“观察函数”和“弱态射”的概念较为笼统-弱态射并不需要保留所有行为到级别（这对于我的应用程序至关重要）。可以通过和。问题：和什么区别？

α

$\alpha$

o b s : T^{α} 1 \to B

$\mathsf{obs}:T^\alpha 1 \to B$

o b s \circ {b e h}_{δ}^{α} \circ f = o b s \circ {b e h}_{γ}^{α}

$\mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

— 弗朗西斯科·莫塔

我不确定我是否理解你的话。您是说保留的行为深度有所不同，例如和等于2步，而和等于4步？请注意， step等价意味着所有 step等价。

z

$z$

f (z)

$f(z)$

z^{'}

$z'$

f (z^{'})

$f(z')$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β \leq α

$\beta \leq \alpha$

— 罗布

在这么小的空间内，我很难解释和之间的区别。简而言之，许多函子的行为由其 step行为确定，例如，对于每个无限二进制流均由其深度n个近似值确定。但是，存在函子的行为无法通过这种方式确定，例如可数幂集或全幂集函子。在这种情况下，提供了其他信息。

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

ω

$\omega$

2 \times I d : S e t \to S e t

$2 \times Id : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega + 1}$

— 罗布

不，您可以保持不变。这个想法是我们不想表现出完全的双相似性，只是其中的一部分。例如，如果我的函子产生了一个树结构，例如，我可以选择只查看一个深度为分支，而不是查看直到深度。谢谢你的回答。

α

$\alpha$

X \mapsto (2 \times X)^{2}

$X \mapsto (2 \times X)^2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Francisco Mota

通常，除非该概念具有某种普遍性，否则应避免使用术语繁琐的术语，例如弱，有规律，正常等。特别是，您的想法似乎与箭头翻转后的通常的弱同态概念不符。

每当您做的事情不太普遍时，总是会有更多的描述性术语，例如“观察上减弱的同态”可能会缩写为“低同态”。

您的观察功能概念已经提供了类别理论表示。我更担心的是弄清楚它的确切含义，以及为什么它很有趣，而不是寻求尽可能普遍的方法。特别是，当您在印刷版中引入不寻常的概念时，通常应提供参考性示例和非示例性示例。

— 杰夫·伯吉斯
source

谢谢你的回答。我同意您的建议，使用更具体的名称。我仍然打算阅读Jan Rothe撰写的有关“弱模拟”的文章（citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571），以确定它们与上述定义之间的关系，但我是（过早地）确信它们是不同的。再次感谢您。

— Francisco Mota