球体上的Delaunay三角剖分是否会使最小角度最大化？

平面中的Delaunay三角剖分将三角形中的最小角度最大化。对于球体上的点的Delaunay三角剖分是否同样适用？（此处的“角度”是顶点周围顶点附近的局部角度）。

受到但与Math.SE 上的这个问题无关的启发。

cg.comp-geom delaunay-triangulation

该属性肯定是局部的，因为它是一个多面体，所以只局限于球体的一个小的平坦区域。真正的问题是随着点分布在整个球体上，财产是否被牺牲了。我的猜测是，为了首先进行Delaunay三角剖分，与欧几里得案例相比，您甚至需要更多的三角形，因此该属性将成立。

— Josephine Moeller

难道这不是基于这样的事实：从球面上的通用点开始的立体投影将圆映射为圆，并且由于共形性而保留了相交曲线（〜边）之间的角度？还是我错过了什么？

— 有人

@someone是的，应该这样做。至少大部分。可能会有一两个障碍，但这将是中心思想。那时候我想过那个。我没有意识到立体映射是保形的。

— Josephine Moeller

@SureshVenkat现在您提到了双曲空间，也许我有直觉。在双曲线空间中，您必须考虑到存在“非法”外接圆（即，超周期和水平周期）的事实。在球形空间中，您不需要；您总能找到经过三个点的圆。

— Josephine Moeller

我认为这行不通。您要确保投影使直线上有大圆圈（因为您正在测量三角形的边缘之间的角度，即大圆/直线）。我认为您无法通过立体投影来做到这一点。您只能使用从球体中心点开始的投影来执行此操作，该投影需要一些圆到椭圆。

— 彼得·索尔

第一论点：这是我的第一个答案。请注意，此参数是错误的。请参阅下面的第二个论点。

我不认为这是真的。它在平面中起作用的原因是，在一个圆中，弦对着的内切角是相应中心角的一半。因此，如果我们有一个角度较小的三角形，那么与相对边缘成较大角度的任何点都将在空的Delaunay圆内，因此在构造中也不是要寻找其三角的点之一。

现在，假设您在球体上有Delaunay三角剖分。在球的中心放置一个点，并将所有小点投影到一个平面上。三角形的边缘（球上的大圆）全部取为线段。但是赋予空球属性的圆被当作椭圆形，因此，如果在投影椭圆之外但在三角形外接圆之内有一个点，则该点将与边缘成更大的角度。

编辑：

等一下。这个答案是完全错误的，因为中心投影不保留角度。我仍然认为该猜想是错误的，因为我有一个更为复杂的论点，即关于内切角的定理在球面上不成立。这是参数：

第二个论点：

这在平面上保持的原因是，弦线所对应的内切角是相应中心角的一半。之所以成立，是因为在下图中，我们有

C ÿ X_{2} = \frac{1个}{2} （ π - X_{2} C ÿ ）

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$ 和

C ÿ X_{1个} = \frac{1个}{2} （ π - X_{1个} C ÿ ） 。

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$ 减去，我们得到

X_{1个} ÿ X_{2} = \frac{1个}{2} X_{1个} C X_{2} 。

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

几何图片

现在，在球面几何中，我们得到

C ÿ X_{2} = \frac{1个}{2} （ π - X_{2} C ÿ + 一个 （ X_{2} C ÿ ） ）

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$ 和

C ÿ X_{1个} = \frac{1个}{2} （ π - X_{1个} C ÿ + 一个 （ X_{1个} C ÿ ） ） ，

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$ 哪里

A (X Y Z)

$A(XYZ)$ 表示三角形XYZ的面积。减去，我们得到

X_{1个} ÿ X_{2} = \frac{1个}{2} （ X_{1个} C X_{2} + 一个 （ X_{2} C ÿ ） - 一个 （ X_{1个} C ÿ ） ） 。

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

对于要点 $Y$ 形成恒定角度 $X_1YX_2$ 成为一个圆，因此我们需要面积的差异 $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ 仅取决于弧长 $X_1X_2$ 。但是，这与以下观点不符： $A(XCY)$ 是 $0$ 对于 $X$ 截然相反 $Y$ 和为 $X=Y$ ，但会介于两者之间。

因此，点的所在地 $Y$ 恒定角度 $X_1YX_2$ 不是一个圆圈。这意味着对于某些三角形 $X_1YX_2$ 我们可以找到一个要点 $Y'$ 外圆的 $X_1YX_2$ 所以角度 $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$ 。然后，我们可以使用它为球体上Delaunay三角剖分最大化最小角度的猜想建立反例。

— 彼得·索尔
source

我没想到这个问题会那么棘手:)。急切地等待图片。

— Suresh Venkat