子集查找算法

假设我有一个列表子集的。如有必要，我可以对此列表进行预处理。进行此预处理后，将看到另一个集合。我想用来识别任何集合。$\cal X$$\{1, ..., n\}$$A \subseteq \{1, ..., n \}$$B \in \mathcal X$$B \subseteq A$

最明显的算法（无任何预处理）需要时间 -您只需测试针对每个分开。有什么比这更好的了吗？$O(n |\cal X|)$$A$$B \in \mathcal X$

如果有帮助，您可以假设，对于任何，匹配的总数都由类的东西来界定。$A$$B \in \mathcal X$$O(1)$

这不是答案。这是一个简单但长期的观察。我希望它会有用。

您问题的决策版本是：是否包含的子集？$\cal X$$A$

此问题与评估变量的单调布尔函数的问题有关。的一个子集相当于一个 -bitstring，所以家庭相当于一个布尔函数的变量。给定一个函数，可以定义不大于的最小单调函数，即。然后将原始问题简化为评估。相反，可以通过将天真地将评估单调布尔函数的问题简化为原始问题。$n$$\{1,\ldots,n\}$$n$$\cal X$$f$$n$$f$$f$$g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$$g(A)$$f=g$或选择使变小的。$f$$\cal X$

在实践中，BDD往往运行良好。因此，一种可能的方法是为建立BDD ，从中得出的BDD ，然后评估。的BDD的平均大小必须为，因为存在许多单调布尔函数。因此，从理论上讲，这是一个不好的解决方案。$f$$g$$g$$g$$\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$

但是（1）可能会进行更好的分析，并且（2）对该方法可能会有一些调整，使其变得更好。例如，我没有使用的大小和的BDD 大小之间的相关性。（必须存在相关性，但是我不知道它是否简单或可用。）$\cal X$$g$

为了完整起见，下面是用于从的BDD 计算的BDD 的简单算法。 这里是BDD的标准操作。$g$$f$

也许您可以使用“信息检索”技术：在预处理阶段，构建一个反向索引（在您的情况下，一个简单的二维数组就足够了）以映射元素到中包含它的集合：。$n \times | {\cal X}|$$x_i \in \{1,...,n\}$$\cal X$$inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$

设置长度为的整数数组。$occ$$|\cal X|$

然后对于每个检索，对于每个进行$y_i \in A$$inv(y_i)$$X_j \in inv(y_i)$$occ[j] = occ[j]+1$

最后，您需要的集合是的集合。$|X_j|=occ[j]$

您可以通过将两个或多个元素索引在一起来任意加快处理速度（以指数空间为代价）。