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将微积分称为代数而不是微积分有什么区别？之所以提出这个问题，是因为我在某处读到了“ λ-微积分不是微积分而是代数”这一行（iirc，归因于Dana Scott）。有什么意义？谢谢。$\lambda$$\lambda$

演算是一种基于符号表达式操纵的计算系统。代数是符号表达及其之间的关系的系统[*]。也就是说，微积分是一种用于找出答案的系统，而代数是表达项之间关系的一种方式。

该演算或者是微积分或代数，这取决于你是否要想到的β和η规则为导向的减少规则或无取向的方程。如果您认为规则是面向的，那么您已经确定了评估顺序，并且规则会告诉您如何使用术语并产生正常形式。如果您认为规则是无方向性的，那么它们会给您关于λ-条件的等式关系。$\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*]还有一个代数的绝对定义，这是一个正式定义，比非正式概念要严格一些。松散地说，区别在于代数的形式定义仅包含那些没有变量绑定的系统。因此，SKI组合器形成了一个代数，但是微积分却没有。$\lambda$

传统上，代数是一个载子集，具有满足某些方程式的操作（请考虑“组”）。可通过多种方式来概括该概念：

• 多分类代数有几个载体集。一个例子是环R上的模块，我们希望将整个事物视为单个代数。另一个相当愚蠢的例子是有向图，它有两个载体集，即边缘的E和顶点的V，以及两个运算，即源s ：E → V和目标E → V，不满足任何方程式。$M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• 不仅可以使用方程，还可以使用更通用的公理。例如，一个字段的公理是除x ≠ 0之外的所有方程式。另一个例子是整数域。$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• 可能允许执行更一般的操作，尤其是无限Arial操作，或以函数为参数的高阶操作。一个infinitary操作的一个例子是在中点代数马丁Escardo和Alex辛普森的。如果您朝这个方向走很远，就会到达单子。$M$

从这个意义上说，无类型的演算是代数，因为它是根据载波集指定的，该载波集具有满足某些方程（β和η）的某些（高阶）运算。$\lambda$$\beta$$\eta$

关于范畴理论中的代数有一个非常精确的定义：例如，请参见本文。花费了几年的时间来理解如何在与数学和计算机科学中常用的代数结构术语相同的上下文中理解具有约束变量的结构，结果证明F代数的分类概念能够统一二。我不确定该解决方案的历史方面，但是一种可能的方法是Fiore，Plotkin和Turi（在此处可用）引入的预捆代数解决了这个问题，并催生了不同但相似的方法，例如Hirshowitz等。和他的博士生朱莉安娜•齐多（Julianna Zsido）。

关于如何使用分类概念来重构和加深我们对带有绑定变量的结构的理解，还有一些尚待完成的研究，以期消除通常包含 calculi和相关理论的最无聊的章节的句法“ cruft”。结构。$\lambda$

虽然“微积分”的概念确实比“代数”的概念定义不明确，但广义的“微积分”通常意味着计算过程，而代数具有采用等式理论的构造模式。
您可能会说，感觉到代数已经“存在”为结构，而我们只是在揭示它们的真相，而不是使用某种方法来产生以前不存在的新答案。

如果您考虑一下Scott试图用Scott域完成什么，那么他的说法是有道理的：他试图找到预定义的数学和代数结构，这些结构可以用作LC的固定语义。他想消除一种感觉，即术语的含义就是特定过程中发生的一切。

您可能对以前有关以下问题的答案感兴趣： 什么是指称语义？

$\beta$$\eta$$M$$N$

如果斯科特确实将lambda演算称为“代数”（我对此表示怀疑），那么他本来会提出一个相当微妙的观点，即您可以认为lambda演算具有先验意义。

尽管如此，他仍然很难说服任何代数学家证明自己的主张，因为他在lambda微积分中没有方程式，但他具有等价性（即在元级别）。另一方面，“组合代数”是完全正常的。

没有诸如微积分之类的东西，但是有一个定义明确的数学对象叫做代数，尽管这个词有很多用途。但是，我的猜测是这个名字是在

（...）对数字系统及其中的运算的抽象研究。

$\lambda$