Questions tagged «lo.logic»

我一直在学习一些类别理论。当然，这是另一种看待事物的方式。（对于未曾看过它的人，这是一个非常粗略的总结：类别理论提供了仅根据对象之间的功能关系来表达各种数学行为的方式。例如，两组的笛卡尔积之类的东西完全按照其他函数的行为方式，而不是集合中的元素是什么。） 我有些模糊的理解，范畴论在编程语言/逻辑（“理论B”）方面很有用，我想知道算法和复杂性（“理论A”）能从中受益。但是，如果我知道理论B中类别理论的某些可靠应用，那可能会帮助我起步。（我已经隐含地假设，到目前为止，理论A中没有发现任何应用，但是如果您有其中一些，那甚至对我来说更好！） 我所说的“可靠的申请”是： （1）应用程序非常依赖于类别理论，以至于不使用机器就很难实现。 （2）应用程序调用至少一个类别理论的非平凡定理（例如，Yoneda引理）。 （1）可能暗示（2），但是我想确保它们是“真实的”应用程序。 虽然我确实有一些“理论B”背景，但已经有一段时间了，因此，不加任何术语都将不胜感激。 （根据我得到的答案的种类，我可能会在以后将这个问题转换为社区Wiki。但是我确实希望有良好的应用程序，并且要有很好的解释，所以似乎不给某些答卷人奖励是可耻的。）

103 pl.programming-languages  lo.logic  ct.category-theory 

众所周知，一般而言，通用量词和存在量词的顺序不能颠倒。换句话说，对于一般的逻辑公式ϕ(⋅,⋅)ϕ(⋅,⋅)\phi(\cdot,\cdot)， (∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇎(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇎(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y) 另一方面，我们知道右侧比左侧更具限制性。也就是说，。(∃y)(∀x)ϕ(x,y)⇒(∀x)(∃y)ϕ(x,y)(∃y)(∀x)ϕ(x,y)⇒(∀x)(∃y)ϕ(x,y)(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y) 这个问题的重点在于只要对成立，就可以导出。(∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇒(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇒(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)ϕ(⋅,⋅)ϕ(⋅,⋅)\phi(\cdot,\cdot) 对角化就是这样一种技术。我首先在问题的相对论中P=?NPP=?NP\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}看到了对角线的使用（另请参见Katz的简短说明）。在该论文中，作者首先证明： 对于任何确定性的多项式时间预言机M，都存在一种语言B，使得。LB≠L(MB)LB≠L(MB)L_B \ne L(M^B) 然后，他们反转量词的顺序（使用对角线化），以证明： 存在一种语言B，使得对于所有确定性的时间M，我们都有。LB≠L(MB)LB≠L(MB)L_B \ne L(M^B) 此技术已在其他论文中使用，例如[CGH]和[AH]。 我在[IR]定理6.3的证明中找到了另一种技术。它结合了测度理论和鸽子洞原理来逆转量词的顺序。 我想知道计算机科学中还使用了哪些其他技术来逆转通用量词和存在量词的顺序？

73 lo.logic  big-picture  proof-techniques 

数学家有时会担心选择公理（AC）和决定性公理（AD）。 选择公理：给定任何集合的非空集，有一个函数，给定一组在，返回的成员。 f S C SCC{\cal C}fffSSSCC{\cal C}小号SS 确定性公理：令为一组无限长的位字符串。爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）玩游戏，其中爱丽丝（Alice）选择第一位，鲍勃（Bob）选择第二位，依此类推，直到构造了无限字符串。如果x \ in S，爱丽丝赢得比赛，如果x \ not \ in S，鲍勃赢得比赛。假设每个S都有一个玩家获胜的策略。（例如，如果S仅由全1字符串组成，则Bob可以有限次数地获胜。）b 1 b 2 x = b 1 b 2 ⋯小号SSb1个b1b_1b2b2b_2x = b1个b2⋯x=b1b2⋯x = b_1 b_2 \cdots X ∈ 小号x∈Sx \in Sx∉Sx∉Sx \not \in S 小号SSSSSS 已知这两个公理彼此不一致。（考虑一下，或者去这里。） 其他数学家很少或根本不关注这些公理在证明中的使用。它们似乎与理论计算机科学几乎无关，因为我们认为我们主要处理有限的对象。但是，由于TCS将计算决策问题定义为无穷大的位字符串，并且我们将（例如）算法的时间复杂度作为自然值上的渐近函数进行测量，因此始终有可能使用这些公理之一变成一些证据。 在TCS中最引人注目的示例是什么，您知道其中需要这些公理之一吗？（你知道例子吗？） 只是预示了一点，请注意，对角化参数（例如，在所有图灵机的集合上）不是“选择公理”的应用。尽管图灵机定义的语言是一个无限的位字符串，但是每台图灵机都有一个有限的描述，因此我们实际上不需要在这里为无数个无限集选择函数。 （我放置了很多标签，因为我不知道示例将来自何处。）

67 cc.complexity-theory  lo.logic  pl.programming-languages  big-picture  set-theory 

我记得我可能遇到过一些问题，这些问题已被证明可以解决，并且具有特定的复杂性，但是没有已知的算法可以真正达到这种复杂性。 我全神贯注于这种情况。算法存在性的非建设性证明将是什么样子。 确实存在这样的问题吗？它们有很多实用价值吗？

47 ds.algorithms  soft-question  lo.logic  proofs 

在将逻辑编码到诸如Coq或Isabelle的证明助手中时，需要在使用浅埋和深埋之间进行选择。在浅层嵌入中，逻辑公式直接写在定理证明者的逻辑中，而在深层嵌入中，逻辑公式表示为数据类型。 各种方法的优点和局限性是什么？ 是否有任何指南可用于确定使用哪个？ 是否可以任何系统的方式在两种表示形式之间切换？ 作为动机，我想将各种与安全性相关的逻辑编码到Coq中，并想知道不同方法的优缺点。

47 lo.logic  coq  proof-assistants 

我有兴趣真正掌握依赖类型。我读过最TaPL和读取（如果不是完全吸收）“相关类型” ATTaPL。我也阅读并浏览了很多有关依赖类型的文章。 许多类型理论的讨论似乎都集中在向以前的类型系统添加增量功能，而不是“从类型系统X进行的下一个大型概括是什么？”。依赖类型似乎是System F的下一个大型概括，但是我还没有找到直观，规范的依赖类型语言。对（归纳）构造的微积分的许多引用使我认为CoC是该语言，但是我所看到的对该语言的解释对我而言似乎并不十分清楚或直观。 我期望/猜测这种语言将具有以下功能：（并且请让我知道是否有任何特别的东西因为困惑或不现实而跳出来） 广义抽象（可以具有从类型层次结构中的任何域到其他种类，种类->术语，术语->类型'''等的功能） 具有无限的键入层次结构（术语：类型：类型'：类型”：...） 最少数量的基本元素。我在想该语言对于每个级别都只声明一个元素。例如，它可能断言（（）：Unit：Type：Type'：...）。其他元素是从这些元素构建的。 总和和产品类型是可导出的。 我也在寻找该语言的解释，理想情况下将讨论： 该语言中抽象与量化之间的关系。如果它们不统一，请解释为什么它们不统一。 无限类型层次结构明确 我之所以问这个问题，是因为我想学习依存类型理论，也因为我想编写一份指南，假设具有一点CS知识，就可以教授证明助手和依存类型语言的用法以及如何理解。 （交叉发布到Reddit）

46 lo.logic  type-theory  dependent-type 

问题：“策略”在证明助手中如何工作？它们似乎是指定如何将术语重写为等效术语的方法（对于“等效”的某些定义）。大概有正式的规则，我如何才能知道它们是什么以及它们如何工作？他们所涉及的不仅仅是减少Beta的顺序选择吗？ 关于我的兴趣的背景：几个月前，我决定想学习形式数学。我之所以选择类型理论，是因为从初步研究来看，它看起来像《做事的正确方法》（tm Way to Do Things，tm），并且因为它似乎使编程和数学统一起来非常有趣。我认为我最终的目标是能够使用和理解像Coq这样的证明助手（我认为特别是能够使用依赖类型，因为我对表示矩阵类型之类的东西感到好奇）。我开始了解的很少，甚至不了解基本的函数式编程，但是我的进展缓慢。我已阅读并理解了大量的类型和编程语言（Pierce），并了解了一些Haskell和ML。

44 lo.logic  type-theory  proof-assistants 

我正在阅读CIS 500的课程注释：软件基础和练习非常有趣。我只是参加第三套练习，但是我想更多地了解当我使用战术来证明诸如forall (n m : nat), n + n = m + m -> n = m.

40 lo.logic  type-theory  proof-assistants  proof-theory  coq 

我想Applicative从范畴论的角度理解。 该文档的Applicative说，这是一个强烈的宽松monoidal仿函数。 首先，维基百科有关单调子函子的页面说，单调子函子要么松懈要么强大。因此在我看来，其中一个来源是错误的，或者它们使用的术语不同。有人可以解释吗？ 其次，哪些Applicative是单曲面函子的单曲面类别？我假设函子是标准Haskell类别（对象=类型，态射=功能）上的内函子，但我不知道该类别上的单曲面结构是什么。 感谢帮助。

40 lo.logic  type-theory  functional-programming  ct.category-theory 

这是与此有关的一个问题。经过大量讨论之后，再次以一种更为简单的形式提出来，这似乎是一个完全不同的问题。 停止问题的不确定性的经典证明取决于在尝试将假设的HALT决策程序应用于自身时出现的矛盾。我认为，这仅表示不可能由HALT决策者来决定自己是否将停止，但除了停止其他任何案例的可判定性之外，没有提供任何其他信息。 所以问题是 有没有证据表明停顿问题是不确定的，既不依赖于表明HALT不能自行决定，也不依赖于对角化论证？ 小编辑：我将致力于该问题的原始措辞，即要求提供一个完全不依赖于对角化的证明（而不是仅仅要求它不依赖于依赖HALT的对角化）。

40 computability  lo.logic  proofs 

所述Immerman-瓦迪定理指出PTIME（或P）恰恰可以由一阶逻辑的一个句子连同一个定点操作进行描述，在所述类有序结构的类的语言。定点算子可以是最小定点（Immerman和Vardi认为），也可以是通货膨胀定点。（斯蒂芬·克罗伊策（Stephan Kreutzer），最小和膨胀定点逻辑的表达等价，《纯粹逻辑和应用逻辑纪事》130 61–78，2004年。 尤里·古列维奇（Yuri Gurevich）猜想没有逻辑捕捉PTIME（《逻辑与计算机科学的挑战》，《理论计算机科学的最新趋势》，埃贡·博格编辑，1-57，计算机科学出版社，1988年），而马丁·格罗（Martin Grohe）则表示不确定性（寻求逻辑捕获PTIME的追求，FOCS 2008）。 定点运算符旨在捕获递归的功能。定点功能强大，但是对我而言，定点不是必需的。 是否存在不基于定点的运算符X，这样FOL + X会捕获PTIME的（大）片段？ 编辑：据我了解，线性逻辑只能表达关于具有严格限制形式的结构的陈述。理想情况下，我希望看到对逻辑的引用或草图，该逻辑可以表达任意关系结构集的属性，同时仍然避免不动点。如果我对线性逻辑的表达能力有误，那么将欢迎使用指针或提示。

38 cc.complexity-theory  lo.logic  descriptive-complexity  finite-model-theory 

我要问一个非常模糊的问题，因为理论计算机科学和数学之间的界限并不总是容易区分的。 问题：您是否知道CS中有任何有趣的结果，这些结果要么独立于ZFC（即标准集理论），要么最初在ZFC（及某些其他公理）中得到证明，然后才在ZFC alorne中得到证明？ 我这么问是因为我很接近完成我的博士论文，我的主要结果（一类游戏这是用来给“游戏的语义”来的确定性概率模态演算）是在成熟的那一刻ZFC扩展与其他公理（连续统假设即否定¬ ç ^ h和马丁的公理中号一）。μμ\mu¬CH¬CH\neg CH MAMAMA 因此，设置显然是计算机科学（模态演算是一个时序逻辑，而我将其与概率系统延伸到工作）。μμ\mu 我想在论文中引用其他此类示例（如果您知道的话）。 先感谢您， 再见 马泰奥

37 reference-request  lo.logic  set-theory 

这个问题的灵感来自关于数学溢出的应用数学的类似问题，并且na的认为TCS的重要问题（例如P vs. NP）可能独立于ZFC（或其他系统）。作为一点背景，逆向数学是寻找证明某些重要定理所必需的公理的项目。换句话说，我们从一组期望成立的定理开始，并尝试推导使它们成立的最小的“自然”公理。 我想知道反向数学方法是否已应用于TCS的任何重要定理。特别是复杂性理论。由于TCS中许多未解决的问题都陷入僵局，似乎自然会问“我们没有尝试使用哪些公理？”。另外，是否已证明TCS中的任何重要问题都与某些简单的二阶算术子系统无关？

37 cc.complexity-theory  lo.logic  proof-complexity 

该站点上讨论最多的问题之一是反驳“教堂-转向”论文的含义。部分原因是Dershowitz和Gurevich于2008年发表了《教会转向论是符号逻辑简报》的证明。（我在这里不进行讨论，但是有关链接和广泛的评论，请参阅原始问题，或者- -无耻的自我推广- 我写的博客条目。） 该问题与伊恩·帕伯里（Ian Parberry）提出的扩展教堂转向理论有关： 所有“合理”机器模型上的时间均与多项式相关。 多亏了Giorgio Marinelli，我才知道上一篇论文的合著者之一Dershowitz和他的博士生Falkovich已经发表了扩展的教堂图灵论证，该论证刚刚出现在“ 发展的教会”研讨会上。计算模型2011。 我今天早上才刚打印出纸，而已略过了，仅此而已。作者声称，图灵机可以模拟最多具有多项式开销的任何顺序计算设备。量子计算和大规模并行计算未明确涵盖。我的问题与论文中的以下陈述有关。 我们已经证明了-正如人们普遍猜想的那样-每个有效的实现，无论使用何种数据结构，都可以由Turing机器模拟，时间复杂度最多为多项式开销。 所以，我的问题是：即使在没有随机化的“真正”顺序计算的情况下，这是否真的“被广泛认为”？如果事情是随机的怎么办？如果实际上可以实例化，则量子计算将是一个可能的反例，但是否有比量子更“弱”的可能性呢？

35 soft-question  lo.logic  church-turing-thesis 

我上过一次关于可计算性和逻辑的课程。该材料包括复杂性/可计算性类（R，RE，co-RE，P，NP，Logspace等）和逻辑（谓词演算，一阶逻辑等）之间的相关性。 相关包括一个领域中的几个结果，这些结果是使用另一领域的技术获得的。据推测，P！= NP可能会作为逻辑问题被攻击（通过将问题从复杂度类的领域投射到逻辑上）。 这些技术和结果是否有很好的总结？

33 cc.complexity-theory  lo.logic  computability