什么是GELU激活？

我正在浏览使用GELU（高斯误差线性单位）的BERT论文，该论文将方程表示为 依次近似为

$$GELU(x) = xP(X ≤ x) = xΦ(x).$$ $$0.5x(1 + tanh[\sqrt{ 2/π}(x + 0.044715x^3)])$$

您能简化方程式并解释它是如何近似的。

GELU功能

我们可以展开的累积分布$\mathcal{N}(0, 1)$，即$\Phi(x)$，如下：

$$\text{GELU}(x):=x{\Bbb P}(X \le x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$$

请注意，这是一个定义，而不是方程式（或关系）。作者为此提议提供了一些理由，例如随机类比，但是从数学上讲，这只是一个定义。

这是GELU的图：

tanh近似

对于这些类型的数值逼近，关键思想是找到一个相似的函数（主要基于经验），对其进行参数化，然后将其拟合至原始函数中的一组点。

知道$\text{erf}(x)$非常接近$\text{tanh}(x)$

和erf的一阶导数（x$\text{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$与tanh（√）相符$\text{tanh}(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)$在$x=0$，这是$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$，我们继续拟合

$$\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+ax^2+bx^3+cx^4+dx^5)\right)$$ （或带有更多项）到一组点$\left(x_i, \text{erf}\left(\frac{x_i}{\sqrt{2}}\right)\right)$。

我已经安装此功能之间的20个样品$(-1.5, 1.5)$（使用本网站），这里是系数：

通过设置$a=c=d=0$，$b$估计为$0.04495641$。如果有更多样本处于更宽的范围内（该位置仅允许20个样本），系数$b$将更接近纸张的$0.044715$。最后我们得到

$\text{GELU}(x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\simeq 0.5x\left(1+\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+0.044715x^3)\right)\right)$

与均方误差$\sim 10^{-8}$为$x \in [-10, 10]$。

请注意，如果我们未利用一阶导数之间的关系，则术语$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$将被包含在参数中，如下所示：

$$0.5x\left(1+\text{tanh}\left(0.797885x+0.035677x^3\right)\right)$$ ，它不那么漂亮（分析性更强，数值更大）！

利用平价

正如@BookYourLuck所建议的，我们可以利用函数的奇偶性来限制搜索多项式的空间。也就是说，由于$\text{erf}$是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$，和$\text{tanh}$也是奇函数，多项式函数$\text{pol}(x)$内$\text{tanh}$也应该是奇数（应该仅具有奇次幂$x$）有

$$\text{erf}(-x)\simeq\text{tanh}(\text{pol}(-x))=\text{tanh}(-\text{pol}(x))=-\text{tanh}(\text{pol}(x))\simeq-\text{erf}(x)$$

以前，我们很幸运最后得到偶数幂$x^2$和$x^4$（几乎）零系数，但是通常，这可能导致低质量近似，例如，像$0.23x^2$这样的项被取消了。不用额外选择（偶数或奇数），而不是简单地选择$0x^2$。

乙状结肠逼近

$\text{erf}(x)$$2\left(\sigma(x)-\frac{1}{2}\right)$$\sim 10^{-4}$$x \in [-10, 10]$

这是用于生成数据点，拟合函数并计算均方误差的Python代码：

import math
import numpy as np
import scipy.optimize as optimize


def tahn(xs, a):
    return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs]


def sigmoid(xs, a):
    return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs]


print_points = 0
np.random.seed(123)
# xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0,
#       .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2]
# xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8)))
# xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6)))
xs = np.arange(-10, 10, 0.001)
erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs])
ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs])

# Fit tanh and sigmoid curves to erf points
tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs)
print('Tanh fit: a=%5.5f' % tuple(tanh_popt))

sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs)
print('Sigmoid fit: a=%5.5f' % tuple(sig_popt))

# curves used in https://mycurvefit.com:
# 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))
# 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))
y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs])
tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean()
y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs])
tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean()

# curve used in https://mycurvefit.com:
# 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5)
y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs])
sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean()
y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs])
sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean()

print('Paper tanh error:', tanh_error_paper)
print('Alternative tanh error:', tanh_error_alt)
print('Paper sigmoid error:', sigmoid_error_paper)
print('Alternative sigmoid error:', sigmoid_error_alt)

if print_points == 1:
    print(len(xs))
    for x, erf in zip(xs, erfs):
        print(x, erf)

输出：

Tanh fit: a=0.04485
Sigmoid fit: a=1.70099
Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08
Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08
Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05
Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05

首先要注意的是

$$\Phi(x) = \frac12 \mathrm{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\right)$$ 按平价 $\mathrm{erf}$。我们需要证明 $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) \approx \tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right)$$ 对于 $a \approx 0.044715$。

对于较大的值 $x$，两个函数都受限制 $[-1, 1]$。对于小$x$，各自的泰勒级数读为

$$\tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ 和 $$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3).$$ 代入，我们得到 $$\tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right) = \sqrt\frac{2}{\pi} \left(x + \left(a-\frac{2}{3\pi}\right)x^3\right) + o(x^3)$$ 和 $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) = \sqrt\frac2\pi \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3).$$ 的等式系数 $x^3$， 我们发现 $$a \approx 0.04553992412$$ 接近论文的 $0.044715$。