傅里叶与拉普拉斯

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假设我在黑匣子中有一个RLC网络，并且在实验室中用力撞击以获得冲激响应。现在有两个选择，我可以进行傅立叶变换，也可以进行Laplace变换以获得频率响应。我怎么知道选择哪一个，两者之间的物理区别是什么？

有人告诉我，拉普拉斯变换还为您提供了瞬态响应或衰减，而傅立叶变换则没有。这是真的？如果我突然在输入端施加正弦信号，那么在系统稳定之前，输出应该不是正弦信号，应该在短时间内出现瞬态响应。有人可以给我一个有关RLC网络的实际例子，以证明这是真的吗？

另外，通常在电路类中，我们采用电路的拉普拉斯变换，其中的实部无论如何都假定为零，因此当我们使用来表示假定电容器的拉普拉斯变换等效于。我相信实数部分为零，因为流过电容器的电流与两端的电压异相90度-这是正确的吗？我认为傅里叶变换与拉普拉斯变换相同。但是，这似乎并不正确-考虑： $s = \sigma + j\omega$ $\frac{1}{Cs}$ $\frac{1}{j\omega C}$ $\sigma = 0$ $x(t) = u(t)$

F {x (t)} = \int_{- \infty}^{\infty} u (t) e^{- j ω t} d t = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq L {x (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t = \frac{1}{s}

$\mathcal{F}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^\infty{u(t)e^{-j\omega t}}dt = \pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} \neq \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_0^\infty{e^{-st}dt} = \frac{1}{s}$

我们可以看到，即使我在Laplace变换的输出中将替换为没有实部，它们仍然不相等。傅立叶变换为什么会有额外的脉冲分量，而拉普拉斯却没有？什么时候可以代入并期望傅立叶变换等于拉普拉斯变换？ $s = j \omega$ $s = j\omega$

编辑：我问题的后半部分在这里和这里都有答案。

laplace-transform

— 黑森
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傅立叶变换和拉普拉斯变换不同。首先，请注意，当我们谈论拉普拉斯变换时，我们经常指的是单边拉普拉斯变换，其中变换积分始于（而不是），即通常使用拉普拉斯变换分析因果信号和系统。对于傅立叶变换，情况并非总是如此。 $t=0$ $t=-\infty$

为了理解两者之间的差异，重要的是要了解拉普拉斯变换的收敛区域（ROC）。对于因果信号，ROC始终是右半平面，即在某个值（其中表示复变量的实部）的右边不存在极点（在中为有理函数）。现在，如果，即轴位于ROC内部，则只需设置即可获得傅立叶变换。如果，则不存在傅里叶变换（因为相应的系统不稳定）。第三种情况（ $s$ $\sigma_0$ $\sigma$ $s$ $\sigma_0<0$ $j\omega$ $s=j\omega$ $\sigma_0>0$ $\sigma_0=0$ ）很有趣，因为这里确实存在傅立叶变换，但是无法通过设置从拉普拉斯变换获得它。您的示例就是这种类型。阶跃函数的拉普拉斯变换在处有一个极点，它位于轴上。在所有这些情况下，傅立叶变换在轴上的极点位置都有额外的脉冲。 $s=j\omega$ $s=0$ $j\omega$ $\delta$ $j\omega$

注意，傅立叶变换不能处理瞬变是不正确的。这只是一个误解，可能是由于我们经常使用傅立叶变换通过应用为定义的正弦输入信号来分析系统的稳态行为。另请参阅类似问题的答案。 $-\infty<t<\infty$

— 马特·L。
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您能解释一下为什么在电路分析中通常使用拉普拉斯变换但最终将s的实部设置为0吗？

— anhnha

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好的，所以您要敲一个由RLC组件制成的黑盒子，然后测量响应-脉冲响应。现在，您想知道频率响应，即对任何正弦曲线的响应。

首先，您不能真正用纯正弦曲线来激励您的系统。为时已晚，您应该从大爆炸开始。最好的办法是使用因果正弦波，它具有额外的频率分量。

但是，假设您想知道的是系统对时域中任意输入的响应。您实际上不需要傅里叶或拉普拉斯就知道这一点。卷积将起作用。

真的有什么吗？您测量了脉冲响应。某种意义上说，是连续地绘制它，而不是对信号进行采样的ADC-通常会发生这种情况，而您会问的是Z变换与FFT。我们还假设您给的爆炸是一个好的增量：强而短。

由于您的系统是RLC，所以它是线性的，因此叠加原理起作用（无论如何我们不会在此谈论）。任何输入都可以通过添加随时间偏移的衰减脉冲来构建（某种程度-这是极限）。因此，总的响应只是将所有这些单独的响应加在一起。该加法正是卷积输入（t）* impulseResponse（t）的作用。您可以将RLC系统视为“硬件卷积器”。这可能是预测对任意输入的响应的最准确方法。

现在，我想澄清一些事情，这就是拉普拉斯与傅立叶的关系。我们的域是因果函数，因为否则将单边Laplace与Fourier进行比较是没有意义的。此外，所有真实信号都是因果关系。从数学上讲，拉普拉斯变换只是函数的傅立叶变换，预先乘以衰减指数。就这么简单。因此，如果由于积分无穷而不存在傅立叶变换，那么当衰减指数足够强时，拉普拉斯可能仍然存在，因为“衰减”函数的积分将收敛。从数学的角度来看，这在某些情况下非常有用。

但是，您真正想要的是为您的工厂制造一个控制系统。在这种情况下，您要做的就是检查响应，然后用一阶或二阶模型加上群时延近似。因此，它不是精确的，但是通过这样做，您可以抛弃实际响应的所有小细节，并获得将模型插入控制方程和算法以及数十本有价值的控制理论知识的巨大优势。并设计和模拟您的控制系统。在这种情况下，您将使用拉普拉斯模型，因为会立即获得可用于稳定性分析的极点和零点。

— 阿帕洛帕帕
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好答案。但是，您的说法“拉普拉斯比傅立叶更通用”是不正确的。在系统理论中，出于实际目的，研究理想系统和/或理想信号也可能非常有用。在这些情况下，通常确实存在傅里叶变换，而拉普拉斯变换则不存在。以一个理想的砖墙过滤器的脉冲响应为例。他们的拉普拉斯变换不存在，但他们的傅里叶变换确实存在。当然，对于理想信号的转换也是如此，例如正弦波（在大爆炸中打开）。

— Matt L.

@apalopohapa：为什么“您不能真正用纯正弦曲线来激励您的系统”？

— anhnha