为什么使用复数来表示交流电的幅度和相位

为什么在交流电路中，正弦波以极性形式表示为复数？从物理角度看，我从逻辑上不理解为什么根本没有想象的部分。纯粹是从数学的角度来看，使电路分析更加容易吗？

Quote：“纯粹是从数学的角度来看，使电路分析更加容易吗？”

我不确定问题的这一部分是否已经足够回答。因此：是-使用复杂的数学来描述正弦信号并没有直接的物理意义。只是为了“使分析更容易”。

例如：将Euler窦信号的著名公式引入傅里叶级数会导致负频率（对称于正频率）。因此，出现了一个问题：现实中是否存在负频率？答案是不！它只是一个有用的数学工具。

实际上，动机很简单。

当您使用线性电路并且仅用一个频率对其进行激励时，无论您在哪里看，都将始终发现该频率非常相同，只有测量的波的幅度和相位会发生变化。

然后，您要做的就是说清楚，让我们忘记频率，如果我跟踪电路周围电压和/或电流的幅度和相位，这将绰绰有余。但是你该怎么做呢？没有任何数学工具可以让您跟踪幅度和相位吗？是的，您已经明白了：向量。向量具有一个振幅（即其长度）和一个相位（即其与x轴形成的角度），ccw方向为正。

现在您可以反对ok向量很酷，但是没有什么比这更酷吗？为什么我们需要使用虚数单位？

第二个问题的答案很简单：用向量进行计算是一件很痛苦的事情，一种符号上的痛苦：

$$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$$

而且这仅仅是增加！好吧，这只是一个表示法问题，如果我们选择另一个基数，则可能会更好。。。这个基数确实存在，但需要虚数单位j。以前的混乱变成了： 2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j 容易得多，不是吗？$\mathbb{R}^2$$j$

$$2+3j+1+7j=3+10j$$

好的，但是虚数向量与电压有何共同之处？好吧，试想一下高斯平面，x轴是实轴，y轴是虚轴。

电压可以用以原点为中心的矢量表示，其长度等于电压值，起始角度等于相位。现在魔术了：开始旋转矢量，使其角速度对应于所需的频率：$\omega$

am 这就是我们所说的相量，那个小家伙是您抵抗强硬电路的最强武器。

那么，这些相量为何如此特殊？这是因为，如果你把两个实电压： ，你要总结他们，它发生，如果你总结相应的相量，然后回来在真实域的结果是一样的。当然这不是魔术，它取决于余弦曲线和复指数之间的数学亲和力。相信我，或者相信这张漂亮的照片：

$$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$$

最好的是，到目前为止，您已经研究过的所有真实电路分析都可以使用相量和复数阻抗。那就是：欧姆定律适用于相量和复数阻抗，这很棒，因为我们有大量工具可以解决基于欧姆定律和基尔霍夫定律建立的电路，并且我们仍然可以使用它们。

使用相量进行微分/积分也非常容易：如您所知，由于我们都以相同的频率谈论正弦和余弦，所以这仅是相移的问题，并且，如果使用复杂的指数表示。

TL; DR：正弦曲线表示为极平面上的旋转矢量，非常类似于停止旋转并拍照的时间，即计算相位和幅度关系。只需查看Wikipedia上的相量页面。并检查该其他更简洁的答案了。

需要注意的主要事情是，任何周期信号（具有一些基本的分析限制，这些限制在实践中都可以应用，或者如果不完全精确，则可以应用到任意程度）可以表示为正弦和余弦信号的总和，其频率是信号的周期。

现在，一旦您离开了直接响应（例如电阻器）的时代，就可以存储和检索能量。线圈存储磁能（施加电压和电流仅逐渐开始但在电压击穿时仍继续运行），电容器存储电能（施加电流和电压仅逐渐开始但在电流击穿时仍保持开路），质量将力逐渐转换为脉冲，弹簧逐渐将冲力转化为力量等。

多种形式的功率基本上是某种激励措施的平方。现在证明同一参数的正弦和余弦的平方和为1。一个常数。因此，您非常了解使用正弦和余弦描述能量的周期性转换。

事实证明，使用正弦和余弦的代数是微不足道的。如果您添加一种虚构的术语来表示您不感兴趣的周期信号的能量形式，并丢弃完成后剩下的任何虚构部分，则代数运算会变得更加简单，而实际变量却变得复杂。

说，我们有一个简单的电路与电压源串联连接与电感的电感线圈大号。然后，$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$$L$

$$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$$

$j\omega L$$v(t)$$v_o = Ve^{j\phi}$$i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$$i(t)$$i_o$$e^{j\omega t}$

我假设我们同意，它们是在任意时刻，幅度和相位下代表交流信号的两条信息，而它们仅是直流的幅度。

不仅是我们需要操纵信息的分析，还包括电路的设计。组件具有阻抗，并影响交流信号。因此，在设计时，我们需要能够计算阻抗，以设计具有特定交流电特性的电路。

复数便于表示和计算交流信号和阻抗。长度和角度这两个维度使我们能够一起计算幅度和相位，并使它们保持一致。