为什么正弦波优于其他波形？

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为什么科学家选择使用正弦波来表示交流电，而不是三角形和正方形等其他波形？

正弦波在表示电流和电压方面比其他波形具有什么优势？

ac sine

— 新秀91
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没有人“选择”那些波形，它自然会出现在发生器中。

— PlasmaHH 2015年

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我建议您看看这些东西是如何工作的：en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator，如果您可以构造一个能给我三角波或方波的天线，那么我想请一位。

— PlasmaHH 2015年

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傅立叶指出，任何信号/波形都可以描述为许多正弦叠加。

— HKOB 2015年

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@PlasmaHH可以为正弦以外的波形构建发生器。只需看一下BLDC的反电动势，它是梯形的（在通常情况下）。但是，是的，无需额外的努力，正弦波就是您容易得到的。

— 罗兰·密斯林格

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@Plutoniumsmuggler这就是我所说的！您声称每个函数都可以表示为一个傅立叶级数；我将其更正为每个周期函数。（实际上，您可能需要进一步限制，包括一些合适的连续性和可微性概念。）

— David Richerby 2015年

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圆周运动自然会产生正弦波：-

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这是非常自然和基本的事情，而尝试产生不同的波形可能会更加复杂，或者会导致不良的副作用。

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上下运动（本质上）会产生与时间相对的正弦波：-

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— 安迪（aka）
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很好的野餐安迪，SHM规则。（+1）

— 吉姆·迪尔登

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谐波振荡FTW

— vaxquis，2015年

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IIRC的弹簧运动仅近似于正弦波，并且近似值仅适用于较小的变形。但是旋转情况正是交流电为正弦波的原因。+ 1`

— Ben Voigt

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如果可以的话，我想补充一点，因为正弦波是基本波形，因此您可以在这些波形之外建立其他波形。傅立叶级数和变换，有人吗？

— Sergiy Kolodyazhnyy 2015年

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正弦曲线的特殊之处还在于它们可以区分并整合到其他正弦曲线中。

— 罗曼·斯塔科夫

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余弦波和正弦波（实际上是复指数形式的成分）是线性时不变系统的本征函数，其系统响应时间为如果您使用线性无源组件（此StackExchange上的电阻器，电感器，电容器）构建任何网络，并向其馈送连续的正弦信号，则网络中的任何点都会提供可能具有不同相位和幅值的连续正弦信号。

\begin{aligned} f (a (t) + b (t), t_{0}) & = f (a (t), t_{0}) + f (b (t), t_{0}) & linearity \\ f (a (t + h), t_{0}) & = f (a (t), t_{0} + h) & time invariance \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

通常不会保留其他波形，因为对于不同的输入频率，响应会有所不同，因此，如果将某些输入分解为唯一频率的正弦波分量，请检查网络对这些响应的各个响应，然后重新组合最终的正弦波信号，结果通常在其正弦分量之间将不会具有与原始关系相同的关系。

因此，傅里叶分析非常重要：无源网络直接响应正弦信号，因此将所有信息分解为正弦波并反过来是分析电路的重要工具。

— 用户名
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这不是一个循环的论点吗？如果将输入分解为其他类型的分量（例如三角波），则会得到不同的结果。

— Random832

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@ Random832不，输入到无源RCL网络的正弦波始终会提供正弦波输出（衰减和相移取决于频率。）要了解原因，请参阅Andy Aka答案中所示的机械共振，其中电共振为直接的类似物。三角输入不提供三角输出。傅立叶分析告诉我们，三角波由以下幅度和频率组成：a，fa / 3、3f，a / 5、5f等。如果将三角分解为这些正弦波并分别进行分析，则可以将它们加在一起并查看电路将产生什么波形。

— 水平河圣

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@ Random832例如，如果尝试使用三角波分析RCL系统的输入和输出，则会发现非线性响应。使用正弦/余弦波，您将获得线性响应，这一点很重要。

— 阿隆2015年

@Aron：与此相关的一个事实是，将两个具有相同频率但相差小于180度的相位的正弦波加在一起将产生一个具有相同频率和中间相位的正弦波。但是，将大多数其他类型的波的两个匹配频率不同的相位信号加在一起将产生与原始波形不相似的波形。

— 超级猫

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事物根据正弦和余弦振荡。机械的，电气的，声学的，您都可以命名。将重物挂在弹簧上，它将根据正弦函数以其共振频率上下反弹。LC电路的行为方式相同，只是电流和电压而不是速度和力。

正弦波由单个频率成分组成，其他波形可以通过将多个不同的正弦波相加而建立。您可以在频谱分析仪上查看信号中的频率分量。由于频谱分析仪会在您要查看的频率范围内扫描狭窄的滤波器，因此您将在信号包含的每个频率处看到一个峰值。对于正弦波，您将看到1个峰值。对于方波，您将看到峰af，3f，5f，7f等。

正弦和余弦也是旋转事物的投影。以交流发电机为例。交流发电机使磁铁绕着线圈旋转。随着磁体旋转，由于磁体而撞击线圈的磁场将根据轴角的正弦变化，从而在线圈两端产生与正弦函数成比例的电压。

— 亚历克斯·弗兰西奇
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谢谢@ alex.forencich，所以正弦和余弦在我们周围的基本动作中正确。

— Rookie91 2015年

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也许您可以在答案中包括通常不希望使用更高频率的波，因为这会导致更大的电容性和电感性损耗，以及更多的噪声（由于存在更多更高的频率），需要通过电源将其滤除（例如在您的高保真设置中）。

— 桑契斯，2015年

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需要注意的是：正弦和余弦非常基本，因为它们自然出现在微分方程中，并且宇宙的许多面都可以通过微分方程很好地建模（包括E＆M，弹簧等）

— Cort Ammon-恢复莫妮卡

第二点-频率分量（相对于周期性）的概念仅在以正交波形集作为参考开始时才有意义-我认为可以用三角波的各种频率分量查看正弦波-正弦波在这里是特殊的，因为它具有线性特性，因此我们可以将信号分解为正弦信号并将其应用到pasive网络（线性系统）中

— user3125280 2015年

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仅仅因为您可以将一个波形分解为一组不同的波形，并不意味着其他波形在某种程度上更“基础”。当然可以将正弦波分解为其他东西。但是，电子电路的确表现为振荡和正弦波。如果您构建一个100 Hz的低通滤波器，并在其中放入一个50 Hz的方波，则另一侧会得到一个50 Hz的正弦波。不是方波或三角波。这就是正弦波为基本的原因。

— alex.forencich 2015年

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从更数学和物理的角度来看，为什么正弦和余弦恰好是波动的基本原理，其根源可以是勾股定理和微积分。

勾股定理给我们提供了这颗宝石，包括正弦和余弦：

{s i n}^{2} (t) + {c o s}^{2} (t) = 1, t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

这使得正弦和余弦在整个物理学世界中散布的反平方定律中相互抵消。

通过微积分，我们可以得到：

\frac{d}{d x} s i n x = c o s x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{d}{d x} c o s x = - s i n x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

这意味着，如果存在正弦和余弦之一，则任何形式的微积分运算都将保留正弦和余弦。

例如，当我们求解对象在胡克定律中的瞬时位置时（到处都有相似的形式），我们有：

- k x = F = m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

$x=\mathrm{sin}(t)$

— 陈
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+0.(9); 此外，IMO值得注意的是，求解大多数常用的微分方程（波动方程，弦方程，流体方程）需要x=e^(lambda*t)替换，这随后创建了可以形式化的解决方案x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)，本质上迫使解决方案中的正弦/余弦展开这样的方程式。

— vaxquis 2015年

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$

对，就是这样。它们也可以表示为余弦。我只是指出，因为IMO清楚地表明，这三种形式（正弦，余弦，正弦+余弦）都是等效的，实际上，根据需要和上下文，它们可以互换使用，例如在en.wikipedia上可以看到。.org / wiki / Harmonic_oscillator或en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation。

— vaxquis，2015年

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科学家没有选择正弦波，这是他们从交流发电机得到的。在交流发电机中，由于转子在磁场中的运动而产生正弦波。否则，没有简单的方法。参见维基百科中的该图。http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

— Obaej
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正弦波仅包含一个频率。方波或三角波是无限数量的正弦波之和，这些正弦波是基频的谐波。

理想方波的导数（上升/下降时间为零）从低到高或从高到低变化是无限的。完美三角波的导数在顶部和底部无限大。

这样的一个实际结果是，与仅是正弦波的信号相比，通过电缆传输方形/三角形信号更加困难。

另一个结果是，与正弦波相比，方波倾向于产生更多的辐射噪声。因为它包含很多谐波，所以这些谐波可能会辐射出去。一个典型的例子是PCB上SDRAM的时钟。如果不小心布线，将产生大量辐射。这可能会导致EMC测试失败。

正弦波也可能辐射，但只有正弦波频率会辐射出去。

— 里达（Reidar Gjerstad）
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您可能会说方波仅包含一个频率。正弦波是无限数量的方波之和。

— jinawee

@jinawee可以，但是还有其他一些因素使正弦波成为“基本的”波浪类型。例如，它是唯一可以自我区分的器件（不考虑相移）。尽管我最喜欢关于振荡弹簧系统的物理解释。

— 罗曼·斯塔科夫

@jinawee，你能证明一下吗？

— 埃里克·贝斯特

@EricBest我不知道证明，但是我指的是Walsh函数en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function，它们是基于[0,1]间隔的希尔伯特基础。当然，可能会出现一些细微的变化，例如，等于一组零的均等值或类似的东西。

— jinawee

@jinawee：将一个正弦波通过线性系统将产生一个相同频率的正弦波或DC（可以看作是一个相同频率但振幅为零的正弦波）。将正弦波的总和通过这样的系统将产生与将每个波分别通过并增加输出相同的结果。这两个属性的组合对于正弦波是唯一的。

— 超级猫

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首先，正弦和余弦函数是一致连续的（因此在其域中的任何地方都没有不连续的点），并且在整个实数线上是无限可微的。也可以通过泰勒级数展开轻松地计算它们。

这些属性在定义实线上周期函数的傅里叶级数展开时特别有用。因此，诸如方波，锯齿波和三角波之类的非正弦波形可以表示为正弦函数的无穷大。因此，正弦波构成谐波分析的基础，并且是描述数学上最简单的波形。

— LapToppin
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我们总是喜欢使用物理现实的线性数学模型，因为它使用起来很简单。正弦函数是“本征函数”线性系统的。

这意味着如果输入是 $\sin(t)$
的输出的形式为 $A\cdot\sin(t + \phi)$

该功能保持不变，仅按比例缩放并随时间推移。这使我们有了一个好主意，如果信号在系统中传播，将会发生什么情况。

— Axel Vanraes
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感谢@Axel Vanraes的宝贵意见。我非常感谢。

— Rookie91 2015年

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正弦/余弦是二阶线性微分方程的解。

sin'= cos，cos'=-sin

基本的电子元件（如电感器和电容器）会产生电流与张力之差的积分。

通过将任意信号分解为正弦波，可以轻松分析微分方程。

— 泰米尔
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简而言之，一种看待它的方法是正弦和余弦函数的谐波序列在有限的时间间隔上形成实值函数的线性向量空间的正交基础。因此，时间间隔上的函数可以表示为谐波相关的正弦和余弦函数的线性组合。

当然，您可以使用其他一些函数集（例如特定的小波），只要它们可以形成有效的基础集，然后以这种方式分解感兴趣的函数。有时这样的分解可能有用，但是到目前为止，我们只知道针对它们的专门应用程序。

进行几何类比：您可以使用非正交的基础来描述向量的组成部分。例如，正交向量可以具有的分量[1,8,-4]。在其他非正交基础上，它可能具有的组成部分[21,-43,12]。这组组件比通常的正交基准更容易或更难解释取决于您要执行的操作。

— 恢复莫妮卡
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损失少
谐波次数少
不干扰通讯线
很少产生破坏作用
机器运行效率
L和C情况下非常小的瞬态行为

— 普拉迪普·毛里亚
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