极点和波特图

我有三个困扰我很长时间的问题：

1. 我们说，在波特图中，每遇到一个极点，增益就会每十年降低20 dB。但是，极点不是定义为使传递函数无穷大的的值吗？那么，为什么现在收益不上升而不是下降呢？$s$

2. 从物理上讲，当我们以极点频率给系统供电时，会发生什么？

3. 另外，考虑传递函数$1/(s+2)$。系统的极点为$s=(-2+j0)$。即，对于极点，$\sigma=-2$且$\omega=0$。但是，当我们将正弦信号应用于其输入并绘制波特图时，为什么我们说有一个2 rad / sec的极点（即使对于极点，$\omega=0$和$\sigma =-2$）？

伯德图不是绘制相对于s的传递函数（）的图。H （s ）是一个复数函数，其幅值图实际上表示笛卡尔坐标系中的一个曲面。如图所示，该表面在每个极点处都将具有无限大的峰：$H(s)$$s$$H(s)$

Bode曲线是由第一代得到的在ħ （小号），然后以极坐标形式表示它ħ （Ĵ ω ）= | H （ω ）| ∠ φ （ω ）。H （ω ）给出幅值波特图，而ϕ （ω ）给出相位波特图。$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

伯德幅值图是传递函数的幅值（）与频率的对数的渐近近似，单位为弧度/秒（log 10 | ω |）。H （s ）| （以dB表示）在y轴上并记录10 | ω | 在x轴上$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

提出问题：

1. 在极点，的复杂表面 H （s ）| 峰到无穷大| H （ω ）| 。$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. 当系统以极点频率供电时，辅助输出将具有相同的频率，但幅度和相位将改变。可以通过将频率（以弧度/秒为单位）替换为来确定该值。H （ω ）| 和ϕ （ω ）。$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. 在-2 rad / sec和2 rad / sec的极点对影响相同。H （ω ）| 。我们的兴趣在于频率响应。因此，我们只需要其中的积极部分。$|H(\omega)|$

当试图理解传递函数时，我认为“橡胶板类比”非常有用。想象一下一个覆盖复数平面的弹性橡胶板，并假设在传递函数的每个零处，该板都固定在地面上，并且在每个极点处都有一个细薄的极点将橡胶片向上推。的频率响应的幅度是沿着橡胶片材的高度Ĵ ω轴摆动。$s$$j\omega$

1. 从上述类推，当然，增益会上升到极点。但是，远离极点，极点的贡献会使传递函数下降（例如，朝下一个零点移动）。想象一下您在第三个问题中作为示例给出的简单系统。它在一个实数值的极，以及-由于该极-它也具有零在小号0 = ∞。因此，随着频率增加而远离极点，传递函数会下降，因为橡胶片在无限远处固定在地面上。从数学上讲，这也很容易看到： H （s ）= $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ 分贝，我们得到 10日志10| ^ h（Ĵω）| 2=−10log10（4）−10log10[（

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ 对于ω»2上的（1右手侧的第二项）可以近似为 -10日志10（ $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ 这是斜率为−20的直线 $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ 每十年 dB。$-20\,\text{dB}$

2. 当您用一个信号的一个极点激励一个系统时，与具有其他频率的输入信号相比，此输入信号将被“放大”。但是请注意，对于稳定的系统，输出信号将始终衰减。例如，如果使用传递函数激励系统$H(s)=\frac{1}{s+2}$$x(t)=e^{-2t}$$y(t)=te^{-2t}$$t$$0$$t$

3. $2$$2$$-20$ 每十年dB适用于 $\omega\gg 2$。价值$2$ 不是由极点频率（零）决定，而是由极点的实部决定。

该图显示了复合物中自然频率之间的差异 $s$平面（无限大）和沿 $j\omega$ 在测量过程中可以观察到的坐标轴：该图属于 $\omega_p=1000$ rad / s和极点品质因数 $Q_p=1.3$（这是可观察到的增益峰值的度量）。该图显示了通带中具有3 dB纹波的二阶切比雪夫特性。

等式中的“ s”是函数exp（s * t）中的常数。因此，当s为实数时，该时间函数是指数增长或下降的函数。您的s = -2的示例是一个指数下降的函数。对于任何极点“数字”，当您在该“数字”上施加输入时，输出将增加。如果将指数下降的信号施加到示例电路，则输出信号将变为无穷大。（但是，请注意，不可能生成始终呈指数下降的信号，因为过去这种信号有时非常大）。当您谈论2弧度/秒的频率时，您说的极点是j * 2，而不是2，因此这些信号是正弦波。可能会生成正弦波的信号（至少持续很长时间）。