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假设我有一个1kHz正弦，因此没有更高的谐波，那么我需要至少以2kHz对其进行采样才能进行重构。
但是，如果我以2kHz采样，但是我所有的采样都在零交叉点，那么我的采样信号根本不会显示正弦，而是会显示已故患者的ECG。怎么解释呢？

这也可以扩展到更高的采样频率。如果我以10kHz采样一个更复杂的波形，则至少应该获得前5个谐波，但是如果该波形使得每个采样均为零，那么我们什么也没得到。这并非难事，占空比小于10％的矩形波完全有可能。

那么为什么Nyquist-Shannon准则在这里似乎无效？

analysis

— 费德里科·鲁索（Federico Russo）
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奈奎斯特准则是最小值。其他问题，例如混叠，可能需要更高的采样率或其他对策。

— drxzcl 2011年

哇！3个答案，共6次观看！

— Federico Russo

@FedericoRusso您的确有提出好的问题的倾向

— m.Alin

1

缺少它：在您的示例中，以2kHz采样1kHz正弦信号会使信号混淆为0Hz正弦信号，从而导致患者死亡！

— Phil

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实际上，您需要略高于 2 kHz的采样率才能正确采样1 kHz正弦波。它的不

F_{ñ} < F_{小号} / 2

$f_N < f_S / 2$

F_{ñ} \leq F_{小号} / 2

$f_N \le f_S / 2$

PS：如果您将信号带入复杂的空间，其中正弦曲线的形式为其中t是时间，A是振幅，f是频率，θ是相位偏移，是频率“的点，即您无法将f与-f区分开。在纯正弦波的情况下，采样后，频率的进一步增加似乎是从中减去了采样频率。

v （ Ť ） = 一种 Ë^{Ĵ （ 2 π F Ť - θ ）} = 一种 （ \cos （ 2 π F Ť - θ ） + Ĵ 罪 （ 2 π F Ť - θ ） ）

$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$

f_{N} = f_{S} / 2

$f_N = f_S / 2$

非正弦曲线

对于方波频率为1 kHz且占空比小于或等于10％（以10 kHz采样）的情况，您会误解输入。

首先，您需要将波形分解为傅立叶级数，以找出分量谐波的幅度。您可能会惊讶于此信号的谐波超过5 kHz时非常大！（三次谐波的经验法则是基波强度的1/3，五次谐波是基波强度的1/5，仅适用于占空比为50％的方波。）

通信信号的经验法则是，您的复数带宽与最小脉冲时间的倒数相同，因此，在这种情况下，您要考虑的最小带宽为10 kHz（-5 kHz至5 kHz） 10％的占空比，基频为1 kHz（即10 kbps）。

因此，让您感到沮丧的是，这些强大的高次谐波将折叠并干扰（相长或相消）您的带内谐波，因此完全可以预期您可能不会获得良好的采样，因为如此多的信息不在奈奎斯特之外带。

— 迈克·德西蒙
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1

但是，这并不能解释第二个示例，在该示例中，采样频率是接地频率的10倍

— Federico Russo

是的，错过了。添加到我的答案。您可以考虑以下有趣的事情：可以传输千兆位以太网数据的5e类线具有100 MHz的指定带宽。Cat 6达到250 MHz，Cat 7达到750 MHz。

— Mike DeSimone

那么，这是否意味着对于每个谐波的脉冲信号幅度和相位，都具有到相位完全相同但幅度却相反的镜像谐波的映射？

— Federico Russo

@Federico：在这种情况下，“折叠”表示镜像奈奎斯特频率。因此，如果您以10 kHz采样，并且尝试采样11 kHz正弦波，则将获得9 kHz输出。尝试采样13 kHz，您将得到7 kHz。

— endlith 2011年

1

对于最后一条评论，该示例是当您在电视上观看汽车时：当转速接近帧速率的倍数时，车轮似乎减速直到静止，然后开始以相反的方向旋转。

— clabacchio

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$F_S + f$ $F_S - f$
$F_S / 2$

在此处输入图片说明

$-F_S / 2$ $F_S / 2$
$F_S$

在此处输入图片说明

$F_S / 2$

$F_S$ $F_S / 2$

— 史蒂文夫
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1

+1图片。使其更加清晰。

— Federico Russo

耶图片！我应该更频繁地使用它们，但是我对ASCII艺术玩得太多了。无论如何，如果您实际使用的频率完全在非重叠部分内，那么图2中所有重叠的部分都可以使用，但这在sigma-delta调制之外并不常见。

— Mike DeSimone

在某些情况下，可以允许进入Fs / 2以上的采样对象，如果在采样后将去除混叠频率的任何东西，则可以。例如，如果希望以8,000Hz的采样音频结束但不希望滤除3500以下的音频，则可能很难使用模拟电路使滤波器变得清晰。另一方面，如果从16,000Hz采样开始并以数字方式过滤掉4,000Hz以上的物体，则只需要一个模拟滤波器即可衰减12KHz以上的物质，同时保持4KHz以下的物质。4-12Khz之间的任何值都将别名为4-8Khz。

— supercat 2012年

@supercat-您的抗锯齿过滤器应该始终是模拟的。我同意您关于模拟滤波器的观点，但是您使用的数字不正确。4-12kHz将别名为4-12kHz，而不是8kHz。（如果您检查带宽，就可以很容易地看到，这应该是相等的。）

— stevenvh 2012年

@stevenvh：通常，采样结果仅以奈奎斯特或以下的频率来描述，我想，尽管奈奎斯特以下的每个频率都将在奈奎斯特和采样率之间混叠。我的观点是，如果计划对高于4KHz的信号进行数字滤波，则不必担心8KHz-12Khz之间的频率会折回4KHz-8KHz范围。因为无论如何它们都会被过滤掉。几乎总是需要某种模拟抗混叠滤波器，但是在许多情况下，过采样可以大大缓解要求。是…

— 超级猫

1

定理没关系。根据奈奎斯特的说法，您的信号不得包含等于或高于采样率一半的频率。香农可能允许这样做，但这是他的定理版本，这可能在临界频率上引起歧义。

编辑（回复：简短的答案？）：我认为没有必要解释采样方法本身。问题是关于混乱“频带中是否包含临界频率”，以及香农定理的措词是否包含错误。它确实可以做到（正如我在世界Wiki中所看到的）。或最有可能是维基作者不正确地引用了他的话。顺便说一下，这个定理在20世纪有4位独立作者，因此任何从随机来源学习该思想的人的困惑都会变得更糟。

如果您的采样输入没有某种低通滤波器，则不应滤除任何东西。所有谐波都应折叠起来并可能相互干扰。一些现代无线电通过在前端使用带通滤波器的宽带输入ADC，将奈奎斯特频率折叠用作移频器。

— Mike DeSimone

@Mike DeSimone：谢谢您解释混叠效果，但同样，问题不是关于“频带结束”，不是“频带内”或“频带外”重构。

0

$N Hz$ $\frac{1}{2}N$ $1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

$f$ $t$

但是根据维基百科：

从本质上讲，该定理表明，如果采样率超过每秒2B个采样，则可以从无限个采样序列中完美重建已采样的带限模拟信号，其中B是原始信号中的最高频率。

因此，两倍于该频率的采样频率是错误的-应该刚好超过该频率的两倍。这样，连续的采样将捕获波形的稍有不同的部分。

— 马延科
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就像我也对迈克说的：尽管这没有解释第二个示例，其中采样频率是接地频率的10倍

— Federico Russo

矩形波具有非常高的谐波。奈奎斯特（Nyquist）说，它的最高频率刚好超过其两倍。最高频率可能比50％占空比高数百倍甚至数千倍。

— Majenko

它也适用于连续信号-占空比为10％的PWM矩形波不连续。对于最低频率（占空比），可以说50％PWM是连续信号，而对于较高频率，则不是。

— 马延科，2011年

@Matt- 根据傅立叶的说法，每个信号对于最低频率都是连续的，因为所有合成频率都是正弦。使Federico的脉冲连续，并且仍然具有相同的采样结果，也是完全可能的。

— stevenvh 2011年

0

当以特定速率F采样时，每个频率分量f都会为k的所有整数值生成形式为kF + f和kF- f的别名。通常，在对信号进行采样时，没有高于F / 2的频率分量，因此，在0到F / 2范围内的分量只有原始信号中存在的那些。采样后，将有高于F / 2的信号分量（作为下面信号的别名生成）。对于原始信号中的任何频率f，最麻烦的将是频率F- f处的一个。

注意，作为频率f从下面接近F / 2，第一个混叠频率将从上面接近F / 2。如果输入包含频率为F / 2-0.01Hz的信号，则频率为F / 2 + 0.01Hz时会出现一个别名-仅比其高0.02Hz。分离原始信号和混叠信号在理论上是可行的，但实际上很难。采样波形将显示为两个频率几乎相等的等强度波的总和。这样，它的振幅似乎会随着高频波的相对相位而变化。在输入频率精确为F / 2的情况下，混叠频率也将精确为F / 2。由于原件和别名之间完全没有频率分隔，因此分隔是不可能的。原始信号和混叠信号之间的相位关系将确定所得信号的幅度。

— 超级猫
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奈奎斯特频率困扰

非正弦曲线