计算最少的120Ω电阻以获得80Ω的电阻？

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我最近不得不参加基本电子学的考试。我没有正确回答一个问题，但我不太明白为什么。

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

这个问题的可能答案是2, 3, 4 and 6。我唯一能想到的答案是6，其电阻排列如下。但这6不是正确的答案。

题：

需要多少个电阻并布置它们？

原理图

^{模拟此电路 –使用CircuitLab创建的原理图}

我只知道电子学的基本知识，所以我希望我的想法是正确的。

resistors

— 马里乌斯·舍尔（MariusSchär）
source

10

@自闭症会不会在paralell中将120和120设为60？

— MariusSchär2015年

3

也许自闭症正在成为艺术

— Marla

8

这个数字是三个。推论该组合留给读者练习……但是只有这么多种可能性。

— 克里斯·斯特拉顿

2

这是可以击败我们所有人的问题类型。有时，最简单的解决方案就摆在我们面前。我鼓励这样的问题。我真的很喜欢在采访中观看这类问题。马丁，别难过。。我自己已经迷失了这种类型。我们被自己的限制所

— 束缚

4

我当时用两个串联的120欧姆电阻器来表示120。

— 自闭症2015年

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120 || （120 + 120）如果两个并行的120等于60，则您希望其中一个分支稍高一些，所以...这是下一个尝试。

通常，仅使用相同种类的仓来获得2/3值电阻器，该方法是正确的。通常，为解决此类问题，值得记住的是，两个并联电阻的等效电阻小于任一分支的等效电阻。例如，您还可以通过向分支添加一个来获得3/4（即90）。

注意：感谢Massimo Ortolano的论文，现在我知道我只是凭直觉就完成了上面的工作，因为我基本上遵循了Stern–Brocot树中下面指示的搜索路径：

— 嘶嘶声
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哇，谢谢你！这将会是非常有用的，如果他们在课堂上讲授这种简单的方法..

— 马吕斯SCHAR

10

教育的重点通常是触发发现，而不是简单地告诉您事情。

— 克里斯·斯特拉顿

3

还要codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…–

— Fizz，

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通过应用连续分数可以找到直接的解决方案。

如果您拥有的是120Ω，而您想要的是80Ω，请写下分数：

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

由于整数部分为零，因此您将从并联电阻开始。反转小数部分：

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

这告诉您，您将有一个并联的电阻和一些串联的电阻。再次反转小数部分：

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

这告诉您需要串联2个电阻。由于此时没有小数部分，您已经完成。

答案是总共3个电阻。

— 戴夫·特威德
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15

电阻按连续分数组合。

— Jasen 2015年

1

您是否认为该算法总体上给出了最小的解决方案（以电阻数量计）？似乎有一篇有关该主题的最新论文，但这似乎是一份面向教育的评论。看不到极简的提法。

— Fizz

2

还有math.stackexchange.com/questions/14645/…请注意，接受的答案实际上是不正确的！

— Fizz

6

@RespawnedFluff：不，通常，它没有给出最小的解决方案。使用连续的分数扩展可得出仅由并联和串联组合组成的解决方案，但是，总的来说，通过考虑桥式连接的电阻器，可以找到具有较少电阻器的解决方案。可以证明，对于平面网络，问题等同于用整数边的正方形填充矩形。如果那时也考虑非平面网络，那么可能会找到具有更少元素的解决方案。

— Massimo Ortolano 2015年

3

为了更好地查找关键字，Dave指示的解决方案基于实数的Stern-Brocot树近似。我发现这是在阅读Massimo Ortolano的论文时发现的，顺便说一下，该论文也可以在arxiv上免费获得。

— Fizz

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您可以通过交换串行和并行来更改解决方案：

原理图

^{模拟此电路 –使用CircuitLab创建的原理图}

然后，您可以将R2，R3，R5和R6分组为单个2x2组：

原理图

^{模拟该电路}

$120\Omega$ $120\Omega$

原理图

^{模拟该电路}

— 棘轮怪胎
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1

尽管有图表，这与user92407提早3小时表示的内容相同。

— 戴夫·特威德

1

不过，我发现添加有用。它实际上正在使用Massimo Ortolano指示的等效几何拼贴问题。可以替换的四个电阻形成一个更大的正方形。

— Fizz

7

以您的解决方案为例，但中间没有中心点：您可以将其重新排列为每个120 + 120 Ohm的三个平行部分（连接中间点没有区别，因为它们都处于相同的电压）。现在，三个并联的120 + 120欧姆部分中的两个又合并为120欧姆，因此您可以将一个并联的两个分组中的这四个电阻替换为一个，剩下一个与120 + 120欧姆并联的120欧姆电阻。

一旦您拥有了众多解决方案，便可以证明该解决方案的正确性。但是，这种重新排列显示了如何找到它，而无需恢复数学试验和错误。

— 用户名
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1

实际上，它确实涉及试错[一般]。对于不涉及穷举搜索的具有整数正方形的最小平铺矩形的问题，没有已知的解决方案。尽管可以修剪解决方案树，但还是有一些启发式方法，但是它们不能保证最小的解决方案。

— Fizz

4

详细说明@RespawnedFluff的答案，找到此方法的一种方法是通过以下方式进行思考：

我有什么电阻，好的120。
我需要做什么，80
我们知道什么方程式？那么，串联或并联的两个电阻器是最简单的起点。显然，串联并不能立即起作用-这会增加电阻，而不是减小电阻。因此，我们将需要尝试并行。我们知道等式：

\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

所以也许让我们开始吧：

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

$R_1=120$ $R_2$
$R_2$ $R_1$ $R_2$

这种方法是反复迭代的，但是在这种情况下，它会很快找到您得到的答案（使用6个电阻），以及@RespawnedFluff得到的答案（使用3个电阻）。

$180\Omega$ $120\Omega$ $60\Omega$

$R_2$ $R_2$

— 汤姆·卡彭特
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更正了我的答案。我完全弄乱了我的解释。

— 汤姆·卡彭特

如果一个电阻分支固定，则很容易解决（或确定没有[整数]解决方案）。我仍然不确定如何解决，即使有两个分支，也不要介意。这是一个更复杂的双色子方程。

— Fizz

就枚举而言，问题很可能是NP完成的：arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz，

1

串联的基本电阻和并联逻辑的电阻。很简单的..

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$

$R1 = 120\Omega$

$R2 = 240\Omega$

但是我们不能在这里使用240Ω电阻，因为据说我们只有120Ω电阻。因此，我们将使用一个120Ω+120Ω（串联）并联一个120Ω电阻代替240Ω。

— 罗希特·丹尼（Rohit Dani）
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4

这与汤姆·卡彭特（Tom Carpenter）11个小时前说的一样。让我们尝试避免重复答案。

— 戴夫·特威德