确定实现布尔表达式所需的NAND / NOR门的最小数量

是否有任何算法可以确定带有NAND或NOR门的最小数量

1. 给定数量的输入
2. 补充输入的可用性/不可用性

实现布尔表达式所需的吗？我们可以通过Karnaugh映射获得最小的AND-OR形式作为素数蕴含量（据我所知，Quine-McCluskey算法确定性地获得了它们）。对于NAND或NOR实现，是否也存在类似的技术？至少，即使没有找到实际的图，这种技术也应该确定所需的NAND / NOR门的最小数量？

在主要牵涉者上应用德摩根定律似乎不是确定性的，

A ⊕ B = A'B + AB' = ((A'B)'(AB')')' [5 NAND gates]
A ⊕ B = (AB + A'B')' = ((ABAB+ABB') + (A'AB+A'B'))' = (AB(AB+B') + A'(AB+B'))' = ((AB+A')(AB+B'))' = (((AB)'A)'((AB)'B)')' [4 NAND gates by reusing (AB)']

您只能通过解决整数编程问题（或等效物，请参见下文）来找到多层网络中的最小门数。这个问题是NP完全的，因此只能解决多达12个左右的门。

存在一些逼近方法，它们不会为您提供最小数目，但在所需时间方面更易于处理...这些本身就是一个很大的话题，基本上是多级优化的整个领域。您可以在此处阅读[免费]概述。

对于小型NAND网络（最多4个变量），该问题已通过穷举枚举[或等效方法]完全解决。伊丽莎白·安·恩斯特（Elizabeth Ann Ernst）最近发表了一篇 [2009] 博士学位论文，总结了古代的研究成果并加以扩展。恩斯特使用分支定界法，在实践中对穷举法进行了改进，但并非渐近。她还指出，其他隐式枚举方法，例如整数编程或CSP（约束满足，通过SAT解决），在实践中效果较差。

很明显，她为自己的方法编写了一些软件（称为BESS），但是我不确定该软件是否可以在某个地方公开获得。她的论文全文可在umich免费获得。的确，您找到了2输入xor的最小表达式（显然是您的第二个表达式），下面突出显示了一个表达式：

她还将准确的结果（对于NAND）与ABC的启发式优化器产生的结果进行了比较。

在已知最佳网络的4,043个功能中，ABC能够为其中的340个产生最佳网络。对于那些ABC无法产生最佳网络的功能，它平均比最佳网络大36％[。]

有（显然）一些[大型]网络尚未完成BESS，但允许找到一个上限（在放弃搜索的位置）。从下面的第二张图中可以看出，对于那些ABC来说，它们的表现相当不错[相对于发现的界限而言]。

可能有更好的技术，但是回到黑暗时代，我发现Karnaugh Maps可以正常工作

NAND后跟NAND与AND后跟OR等效。

NOR后跟NOR等于或后跟AND。

NAND后跟NOR等同于AND后跟AND，这实际上没有多大意义。NOR后跟NAND将等效于OR后跟OR。

我不相信在一般情况下，有任何可行的方法都可以找到大量输入问题的最小解决方案（显然，对于少量输入，您可以蛮力行事）。Quine-McClusky仅查看两级解决方案（最小的两级解决方案通常不是总的最小解决方案），并且在复杂的真值表和大量输入的情况下可能无法实现计算。

最好的算法是Espresso算法。在某种程度上，这是在FPGA综合中实现的

逻辑星期五是可以使用的一块软件。注意：这将XOR减少到5个NAND门。