证明每个带有二极管的电路都只有一个解决方案

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考虑一个由线性元件和许多理想二极管组成的电子电路。所谓“理想的”我的意思是它们可以是正向偏置（即，和）或反向偏置（即和）。 $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

可以通过任意声明每个二极管为正向偏置或反向偏置，并为每个正向偏置二极管设置，为每个反向偏置二极管设置来计算这些电路。所得到的线性电路已经计算出之后，我们必须检查是否在每一个正向偏置的二极管，并在每个反向偏置二极管被满足。如果是，那就是我们的解决方案。如果没有，我们必须为二极管尝试另一组选择。因此，对于二极管，我们最多可以计算 $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$ 线性电路（通常少得多）。

为什么这样做？换句话说，为什么总是会有一个选择导致一个有效的解决方案，（更有趣的是）为什么从来没有两个选择都导致一个有效的解决方案？

应该有可能证明，例如在教科书中证明戴维南定理的严格程度。

链接到文献中的证明也是一个可以接受的答案。

circuit-analysis diodes

— 斯特凡
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因为物理电路一次只能处于单一状态。这不是量子力学...

— 尤金·什。

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@EugeneSh .：是的，但这不是OP的要求。给定相同的外部条件，某些电路可以处于多种不同状态中的任何一种。问题是要证明OP所描述的电路类别只有一种这样的状态。

— Dave Tweed

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@Eugene Sh .：例如，触发器（或任何双稳态电路）是具有多个解决方案的电路的反例。如果没有给出“相同的初始条件”，则必须假定任何条件并查看可用的稳定解，然后您会发现，无论初始条件如何，某些电路都只有一个（例如线性电路），而其他电路则不止一个。

— 凝结

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@EugeneSh。这里的要点是证明二极管电路的稳态行为不取决于初始条件，只有一个稳定的解决方案。与触发器不同，触发器具有多种稳定的解决方案，并且可以用作存储元件（“初始条件”是存储写操作）。

— 埃文（Evan）2016年

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@EugeneSh。关键不是在给定初始条件的情况下非线性电路可以处于定义良好的状态，而是相反。OP所引用的定理保证了无论初始条件如何，都只有一个解，这对于非线性电路而言是相当独特的。

— 洛伦佐·多纳蒂

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我认为这是一个人为问题，其中有一个电路具有已知的无源元件，并给出了一些I和V，并标出了方向未知的二极管。我的答案是：

希望问题的创造者将自己限制在假设得出结论的情况下。

从理论上讲，通过外接一个二极管是无法解决的。考虑将二极管的两面都接地。使用虚拟接地或其他相等电压的非平凡情况可能很难发现。

对于任何包含二极管的“有效电路”值，肯定存在可能仅因二极管的方向而不同的有效电路。考虑使用那些理想的二极管规则为开关建模，如何确定开关是打开还是关闭？希望给定的电流和电压能给出足够的提示。希望他们没有给您冲突的提示。

这将问题转移到“如何判断实例是否具有足够的信息来唯一”？我记得答案是这样的，就像您需要为每个独立的未知数指定一个独立的变量，但我敢肯定我无法证明这一点，也无法提出对两者独立性的一般测试。

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对于理想的二极管，可以有多种解决方案。

简单的反例：采用包含您已解决的理想二极管的任何电路。现在，如果将一对理想的二极管替换为正向导通，则应将其并联连接，或者将其反向偏置，将其串联，以保持两种情况下的方向。您如何解决两者之间的电流或电压分布？不能，理想的二极管模型会导致同样有效的解决方案的凸包。

— 本·沃格特
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您真的在这里扩展“电路”的定义。串联的两个反向偏置的理想二极管在它们之间创建一个隔离的节点，而并联的两个正向偏置的理想二极管则创建一个隔离的环路。这在问题的上下文中没有用。

— 戴夫·特威德

@DaveTweed：与修改之前相比，电路后修改的电路如何？

— Ben Voigt

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不是，但是您的修改不会产生有用的区别。如果两个理想二极管连接到一对电路节点，那么唯一重要的是这些节点之间的总电压或总电流。无论如何，二极管之间的电压或电流的分布无关紧要。并使用无关紧要的术语（例如“凸包”）只是纯技术性的玩笑。

— Dave Tweed

这非常有用，因为它表明没有进一步的假设就不可能证明唯一性。当然，下一个问题是，将两个二极管排成一行并并联两个二极管是否足够，或者是否存在复杂性更高的反例。

— Stefan

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我没有严格的证明，但是一般的想法是，只要电路的组件具有VI曲线是单值函数（包括二极管和线性组件），就只有一种解决方案整个电路。

— 戴夫·特威德
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对叠加的归纳。基本情况将是单二极管电路，这很容易证明具有单一解决方案。然后，归纳步骤显示基本电路的组合具有单一解决方案。

— 尤金（Eugene Sh）。

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但是，等式中讨论的理想二极管没有单值IV曲线。

— Ben Voigt

@BenVoigt：在处理理想分量以及关联的零和无穷大时，您必须小心。极限的概念至关重要：正向电阻为无穷大但不为零，反向电导也无穷小但不为零。当以这种方式考虑时，方程确实是单值的。

— Dave Tweed

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我认为很简单：

您可以将正向偏置的理想二极管视为短路，将反向偏置的理想二极管视为开路。因此，无论如何，您得到的电路中只有线性元件（因为所有二极管都分解为开路或短路），并且已知这些线性电路只有一种解决方案。

— 凝乳
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但是这些电路中的每一个都有一个解决方案-您如何证明只有一个是自洽的？

— Ben Voigt

@Ben Voigt：好的，我了解。这尚未得到证明（可能是主要工作）

— Curd

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从Wikipedia载重线条目

由于问题的性质，只有一种独特的解决方案。最好以负载线的形式以图形方式说明。二极管的方程式描述了流过二极管的电流（y轴）和二极管两端的电压（x轴）之间的关系。在此，x轴是二极管两端的电压。

观察随着二极管两端电压的变化，电阻两端的电流会发生什么变化。如果二极管两端的电压为Vdd，那么电阻器两端将没有压降，因为电阻器和二极管之间的电压必须相加为Vdd），因此电阻器两端的电流为零（欧姆定律）。同样，如果二极管两端的电压降为零，则电阻器两端将为Vdd，流经电阻器的电流将为Vdd / R。

现在，我们知道这是不现实的情况，因为二极管和电阻器中的电流必须相等。给定电阻器的方程式（线性）和二极管的方程式（非线性，但单调递增），我们可以在图上看到，这只能在一个唯一的点发生，即两条曲线的交点。

因此，三个方程式的同时解（电阻器，二极管和两个电流必须相等的事实）给出了一个唯一的解。

该方法适用于所有电路元件。

对于反向电流二极管来说有点不同，因为电阻器电流是相反的，需要在图中添加一个象限。

— 斯科特·塞德曼
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您显示的二极管IV曲线不是理想二极管的IV曲线。

— 凝结

@Curd：考虑到缺乏比例因子，它已经足够接近了。请参阅我对Ben Voigt的评论。

— 戴夫·特威德

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这对于一个二极管的情况是一个很好的解释，但是我的实际问题是几个二极管的情况。

— 斯特凡

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“证明”仅适用于某些电路。如果您具有一定的增益，并且仅有非线性元件是二极管本身，则可以具有多种可能的状态。例如（可能不是最简单的示例）。

该电路将与理想的理想线性运算放大器一起工作，并且输出永远不会变为无穷大或饱和，但是在0V的情况下，输出端的电压可能约为+6或-6，一对或另一对二极管导通。它也可以与“几乎理想”的二极管一起使用，这些二极管在导通时会出现正向压降，并且没有其他非理想情况。

原理图

（当然，隧道二极管是具有非单调IV曲线的特例）。

证明可能仅需要电阻等无源元件（不需要相关的电流或电压源）。或仅使用0V Vf的理想二极管。

— 斯佩罗·佩汉（Spehro Pefhany）
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不清楚我们在此讨论的电路类别是否排除了任何具有增益的东西，例如任何三端子设备或负电阻设备？

— Dave Tweed

@DaveTweed不，不是。最初的问题是“线性分量”的限制不够，至少对于正向下降的二极管而言。典型的教科书问题只有独立的电压和电流源，电阻以及理想或有些理想的二极管。真正有用的电路通常涉及运算放大器IME。

— Spehro Pefhany

我的意思是您描述的典型教科书问题。

— Stefan

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没错，如果要排除主动但线性的元素，该问题应该说“被动”。

— Ben Voigt

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这不是一个完整的证明，但也许它将使您步入正轨：

如果有多种解决方案，则至少有一个二极管可以正向或反向偏置。考虑一个这样的二极管。在给定的解决方案中，它是正向或反向偏置的。让我们定义其端子Va和Vb的电压，这样，如果正向偏置，则Va> = Vb，如果反向偏置，则Vb> = Va。在正向或反向偏置的情况下，其余电路（RotC）的电压会在二极管的端子上产生这些电压。

由于您已声明该电路由线性元件和二极管组成，因此RotC是纯线性网络，或者它包含更多二极管。

如果RotC是纯线性网络，则它只有一个解，并且对约束Va> = Vb和Vb> = Va的唯一解是Va = Vb。

如果RotC包括更多具有多个可能解决方案的二极管，请考虑下一个这样的二极管。同样，它要么连接到线性网络，要么是具有更多二极管且具有多种可能解决方案的网络。

如果我们假设电路中有有限数量的二极管...

— PProteus
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