何时需要或允许以奈奎斯特速率采样

我已经在该平台上搜索过往的问题和答案，但是没有人回答这个问题。教授说，在某些条件下可以以奈奎斯特速率采样。我想知道，首先，是否可以这样做，如果可以，什么时候？

首先，让我们摆脱奈奎斯特汇率误解。

人们通常被告知，最小采样频率需要是信号最高频率的两倍。这是完全错误的！

真实的是，如果您拥有一个“完整”频谱，并且完整来说，我的意思是说它完全用尽了其带宽下边缘和带宽上边缘之间的所有频率，那么您需要具有采样频率至少是信号带宽的两倍。

因此，在此处的图片中，采样频率必须至少为2 *（Fh-Fl）才能获得频谱。

您还需要记住，进行采样后，有关实际频率的所有信息都会在采样信号中丢失。这是有关奈奎斯特频率的整个故事发挥作用的地方。如果采样频率是信号最高频率的两倍，那么我们可以安全地假设（因为我们经常被训练为在潜意识中进行训练）采样信号中的所有频率都在采样频率的零到一半之间。
实际上，采样信号的频谱在Fs / 2附近是周期性的，我们可以使用该周期性以获得较低的采样率。
看一下下面的图片：
0和Fs / 2之间的区域是所谓的第一奈奎斯特区。这是我们正在进行“传统”采样的区域。接下来看一下Fs / 2和Fs之间的区域。这是第二个奈奎斯特区。如果我们在该区域中有任何信号，它们的频谱将被采样并且其频谱将被翻转，也就是说，高频和低频将被反转。接下来，我们在Fs和3Fs / 2之间有第三个奈奎斯特区。采样后，此处的信号看起来好像来自第一个区域，并且其频谱正常。其他所有区域也是如此，其规则是奇数区域的频谱是正常的，而偶数区域的频谱是反转的。

现在，这违反了有关“别名”的“传统”规则，因为别名通常被教导为某些邪恶的怪物会吞噬您的信号，并且您必须使用低通抗锯齿滤波器来消除它。在现实生活中，这不是真正的工作方式。抗锯齿过滤器实际上无法阻止锯齿，它们只是将其降低到不再重要的程度。
相反，我们真正想做的是消除奈奎斯特区域中不感兴趣的任何强信号，并让奈奎斯特区域中的我们感兴趣的信号通过。如果我们在第一个区域中，那么低通滤波器就可以了，但是对于所有其他区域，我们需要一个带通滤波器，这将使我们能够从该区域中获取有用的信号，并消除我们所不喜欢的垃圾不需要来自其他区域。

因此，让我们看一下这个示例： 在这里，我们在第三奈奎斯特区中有一个信号，该信号正被带通滤波器通过。我们的ADC将仅需要具有两倍于信号带宽的采样频率即可对其进行重构，但是当我们需要计算内部频率时，我们始终要记住，这实际上是来自第三区域的信号信号。此过程通常称为带通采样或欠采样。

现在，在完成所有这些说明之后，何时回答您的问题：
恩，让我们看一下收音机，也许是微波频谱中的某些东西，也许是WiFi。典型的老式WiFi通道可能具有20 MHz的带宽，但载波频率将约为2.4 GHz。因此，即使我们只对特定的20 MHz频谱感兴趣，如果我们采用幼稚的方法直接对信号进行采样，就需要5 GHz ADC来查看信号。5 GHz模数转换器是非常复杂和昂贵的，它也需要非常复杂和昂贵的设计。另一方面，40 MHz ADC并不像5 GHz ADC那样“神奇”。
需要牢记的一件事是，尽管理论上我们可以使用40 MHz ADC捕获信号，但我们需要非常尖锐的抗混叠滤波器，因此在实践中，我们实际上并不想运行采样频率太接近带宽。另一个也被忽视的事情是，现实生活中的ADC电路本身就可以充当滤波器。在进行带通采样时，必须考虑ADC的滤波效果。通常，有一些特殊的ADC具有比采样率宽得多的带宽，这些ADC是专门为带通采样而设计的。

最后，还有故事的另一面，即压缩感知。我不是专家，这还有些新，但是基本思想是，如果满足某些假设（例如频谱稀疏），我们可以在比带宽低两倍的频率下采样信号。

因此，包括教授在内的许多人都对奈奎斯特汇率是什么感到困惑：

奈奎斯特速率是为避免混叠而损坏信号所需的采样率

这意味着对于实值信号和实值采样，采样率必须大于模拟信号带宽的两倍。

这意味着，以6 kHz的采样率，您可以100％表示任何3 kHz宽频带。

它并不意味着采样速率需求是在信号中的最高频率的两倍。例如，如果3 kHz是9 kHz至12 kHz之间的频带，则不必以2·12 kHz = 24 kHz采样；6 kHz足以足以毫无疑问地用数字表示信号。如果您以后想要将其与其他信号相关联，您仍然需要知道3 kHz的中心位于10.5 kHz左右，但是通常没关系。

我们称此技术为欠采样，效果很好，并且是100％标准的技术，具有许多技术应用。您需要确保的是ADC（模数转换器）看到的所有内容都被限制为其采样率的一半-这意味着，在上述示例中，您必须确保没有9 kHz以下的信号且没有高于12 kHz的信号。

复基带

请注意，这仅适用于实值采样。如果使用IQ解调器（也称为直接转换混频器，正交解调器）之类的东西为您提供复杂的等效基带，则会得到两个同步采样流。在这种情况下，因子2消失了。对于软件定义的无线电来说，这是非常重要的方面。

多相结构

如果您正在学习DSP课程的后期课程，您的教授可能已经暗示了您可以实现诸如有理重采样器之类的事情，在这种情况下，通常您必须对M进行上采样，然后进行滤波以擦除所有图像。 （滤波器以输入速率·M运行），然后进行滤波以避免所有别名（滤波器以输入速率·M运行），然后以N下采样，而单个滤波器实际上以输入速率的1 / N运行–实际上， -奈奎斯特采样。但这基本上是多相/多速率系统讲座的亮点之一，而且我怀疑他是否会在初学者的课程中提到这一点–太令人困惑了。

决不。但是，您需要确保您完全了解“奈奎斯特速率”的实际含义。

Nyquist指出，只要以大于信号带宽两倍的速率对信号进行采样，就可以重建信号。该带宽可能起始于DC，也可能不起始于DC，但是有关此主题的许多资料都假定它总是如此，并且信号的最高频率分量决定了奈奎斯特速率。

例如，如果您有一个1 MHz的AM广播信号，其带宽限制为±10 kHz，则其奈奎斯特速率为2×20 kHz = 40 kHz，而不是2×1.01 MHz = 2.02 MHz。

教授说，在某些条件下可以以奈奎斯特速率采样。

如果您只想计算波形的RMS值，则可以在nyquist下面进行采样：-

蓝色波形也是具有与原始RMS值相同的正弦波。您应该避免的是：-

每个周期恰好采样了两个采样，因此无法知道混叠信号实际上是红色波形还是绿色波形。

奈奎斯特准则告诉您需要多久进行一次采样，以重建频带受限的信号。但是，没有物理信号受到频带限制，这只是一个理想选择。其他方案也可用于采样其他理想信号。通过为您提供有关信号的先验信息（带宽受限），奈奎斯特告诉您如何从几个样本中重建整个信号。如果我给您不同的先验信息，您会比nyquist做得更好。这是一个例子：我的理想信号是分段线性的。只需在拐点处对这些信号进行采样：对于频带受限的信号，采样量要少于一个针。要重建整个信号，请在采样点之间绘制直线。您可以将其称为“ Linequist”标准。

可以使用亚奈奎斯特采样率对周期信号进行采样。这在示波器中得到了很好的利用。每次信号重复都会保存一个样本，但是在周期的不同位置。需要512个样本吗？那么就需要512个完整周期的信号。

精度：

显而易见，可以通过这种方式捕获固定的正弦波。但是那512个样本必须覆盖信号。如果可以将256次和高次谐波视为零，则为真。

有时是故意这样做的，例如，在采样示波器中（与DSO不同，尽管有些DSO也正在采样-但是采样示波器可以是完全模拟的设备，并且自1950年代就已经建立），以应对周期性频率过高的信号无法进行线性电路放大或经济处理-示波器CRT数量不多，无法处理原始的1GHz信号（确实存在！），但是1GHz的频率很容易处理即使采用1960年代的技术，也会出现采样不足的情况。最后，整个系统的行为类似于外差式接收机。尽管没有连续波高频本振，但在使用的采样时钟中仍然隐藏（并使用了）非常高的频率成分：

显然，不能以这种方式检查非周期性信号，并且添加了更低频率分量的信号可能会被完全错误表示和/或错误解释。

我认为[rackandboneman]所说的与教授的意图是一致的。“确定条件”将是原始信号应该是周期性的。

这是显示如何从欠采样信号中重建原始信号的代码。原始信号需要1/100采样周期来重建其唯一模式（尽管其基本频率为8/100）。通过以1.5 / 100秒的采样周期进行采样，可以以0.5 / 100的重构采样周期几乎完美地重构原始信号的模式。（不久后，从1.5 / 100采样周期中得出0.5 / 100采样周期。）

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

如果以速率S采样信号，则对于某个整数N，频率为f的任何内容将与频率为NS + f或NS-f的其他任何内容都无法区分。

给定的采样率是否足够，将取决于是否存在需要区分其内容但不能区分的两个频率。

例如，如果仅关注700-800Hz范围内的信号，则输入中将没有300Hz以下或1200以上的内容，并且其他信号的存在也不会引起削波，如果没有任何预先设置，则1000Hz采样率就足够了过滤，尽管存在总带宽为900Hz的内容。300Hz-700Hz范围内的内容与800Hz-1200Hz范围内的内容是无法区分的，但是如果人们不在乎任何这样的内容都没关系。