为什么在具有正弦输入的无源电路中，所有电压和电流都具有与输入相同的正弦特性？

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众所周知，在由线性无源元件和正弦输入组成的任何电路中，通过和跨任何元件的所有电压和电流都将表现出与输入相同的正弦特性和频率。这实际上就是无源滤波器的工作方式。但是我无法弄清楚或找到具体/直接的证据来说明为什么会发生这种情况，即使不是单纯的观察也是如此。

circuit-analysis passive-filter passive-components

— mjtsquared
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您可以证明每个有问题的组件。每个组件都有明确定义的行为。

— 尤金（Eugene Sh）。

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Thr Mather大自然喜欢正弦波。例如，在电容器中，电容器中的电流与其极板上的电压变化率成正比。I = C * dV / dt。因此，如果电压是正弦波突变，则正弦波的导数是余弦波（相移正弦波）。因此，大自然必须爱正弦波。对于电感器V = L * dI / dt，情况也是如此。如果电压为正弦波，则电流为余弦波。

— G36

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我知道我们不喜欢Fun™，但是您关于数学自然如何爱正弦波的演讲才刚刚开始。

— dlatikay

使用电阻器的温度系数和总热阻（电阻器，PCB走线，用于散发PCB热量的螺栓），您会发现100,000欧姆值的表面贴装电阻器的IP3（三阶失真拦截点）约为1000伏当然，SMT电阻器的功耗为10瓦。

— Analogsystemsrf

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您在说什么被动元素？二极管是无源的，但如果您能从它们中

— 去除

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我一直在绞尽脑汁，最终我找到了一种很好的数学方法来证明这一点，并决定回答自己的问题。在这样的电路中，求解/通过任何组件的任何电压/电流（我称）将始终使您构造一个始终为线性且系数恒定的微分方程（由于无源组件的线性特性）和非同质的（由于正弦输入）。这样的微分方程将始终采用以下形式： $f$ ，其中是常数（电感，电阻等的组合），是微分方程的顺序（反映能量存储元件的电路中的数），和是一个广义的正弦函数描述输入。此微分方程的一般解将始终采用以下形式：

a \frac{d^{n} f}{d t^{n}} + b \frac{d^{n - 1} f}{d t^{n - 1}} + . . . + j \frac{d f}{d t} + k f = C \sin (ω t + θ)

$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$

a . . . k

$a...k$

n

$n$

C \sin (ω t + θ)

$C\sin{(\omega t+\theta)}$

，其中所述特定溶液

，其是相同频率的正弦函数！现在，在交流电路分析中，当均质解接近于零时（由于电路中的电阻而不可避免地发生），我们总是在稳态下查看电路。

f = (general homogeneous solution) + (particular solution)

$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$

= A \sin (ω t + θ) + B \cos (ω t + θ)

$=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

— mjtsquared
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我们不配像你这样的人。一个人提出一个好的书面问题，然后做出一个很好的答案。

— 哈里·斯文森

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值得向将来的读者指出，电路的线性要求不是最初的问题，而是该解决方案应用所必需的（并且结果是正确的）。另一种说法是正弦曲线（和指数）是导数算子的本征函数。

— Photon

简而言之：如果正弦的导数具有相同的频率，则ANY阶导数具有相同的频率。

— 罗兰

您的假设如何解决转换= 0的理想谐振LC电路的情况？

— Glenn W9IQ '18

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谐振LC电路的输出只是两个正弦波，它们正好抵消。幸运的是，没有理想的LC电路可以使正弦波精确抵消，因此输出只是幅度非常小的正弦波。

— mjtsquared '18

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这仅适用于LTI（线性时不变）电路。如果您有一个不理想的分量（它们全都处于一个或另一个角度），您将在输出中看到输入频率的谐波。电感器往往是最差的，但是所有无源部件都有这种行为。例如，电容器可以表现出很强的电压系数，并且由于介电吸收而不会随时间变化。

对于一个简单的（假设大约2年大学数学知识）的数学证明，你可以阅读这些当然伯克利（EECS20N：信号与系统）的笔记。您可以在此处下载全文。

— 斯佩罗·佩法尼（Spehro Pefhany）
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电感器真的是最糟糕的吗？有些芯材料肯定是非常非线性的，但至少HF空气环形电感器确实应该非常线性。

— 大约

@leftaroundabout我想陶瓷电容器可以让他们赚钱。由于导线的电阻，电感器倾向于以线性方式不太理想。

— Spehro Pefhany

如果在LTI电路中是正确的，您如何处理理想的，谐振的LC电路（其中变换= 0）的条件？

— 格伦W9IQ

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之所以会发生这种情况，是因为正弦波在频谱中只是一条直线，无论您使用线性滤波器或放大器如何对其进行处理，所有发生的都是相位或幅度偏移。

如果是方波（无限次谐波），那么应用滤波器会比某些频率更衰减或增大某些频率，并且该方波将失去其可识别的矩形。

方波谐波：-

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— 安迪（aka）
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如果方波像苹果一样，则正弦输入信号像橘子

— Roland

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根本原因是，理想的R，L和C分量的构成方程是线性的，时不变的方程，仅涉及导数和积分（均为线性运算），并且当作用于此类线性算子时，正弦和余弦会变为其他正弦和余弦。

正弦函数的导数和积分是相同频率的另一个正弦函数（它只能在幅度和相位上变化）。KCL和KVL只能导致此类正弦函数的代数和，而该运算只能产生另一个正弦函数。因此，最后，当您在网络中连接R，L和C时，正弦输入将始终导致正弦输出。

在这里查看我的其他答案。

所有这些都是指数函数的自相似性的直接结果（通过欧拉方程与正弦和余弦有关）。您可能需要阅读Giorgi的第一章《波的物理学》，以获取有关其的完整说明。

$t=-\infty$ $t=+\infty$ $A \ x = \lambda \ x$ $\lambda$ 是一个包含关于衰减和相移信息的复杂标量），被称为系统的特征或本征解。它们可以用来构建正交基，其性质是可以将任何其他（行为良好的）函数分解为此类基本砖的广义和-这将使您直接进入傅立叶级数领域，但这是另一个故事。

在关于数学SE的第一个问题的答案中给出了一个简洁的解释：为什么我们在傅立叶变换中使用三角函数，而不在其他周期函数中使用三角函数？

$e^{iωx}$ $S_h$ $f(x)$ $f(x−h)$ $e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$ $x∈R$

— 斯雷德尼·瓦什塔尔（Sredni Vashtar）
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“因此，最后，当您将R，L和C连接到网络中时，正弦输入将始终导致正弦输出。” 除了输出为0的谐振LC电路（不是正弦波）外，还有一个明显的例外。

— 格伦W9IQ

您的意思是A = 0的A sin（wt + fi）吗？仍然是一个正弦曲线，只是太小而无法欣赏。将两个相同的正弦波发生器彼此相对放置也是如此。

— Sredni Vashtar '18

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这仅在将无源元件限制为R，L，C以及可能被正确驱动的晶体时才是正确的-即使那样，也有两个例外，请参见下文。有意和无意的二极管，压敏电阻，具有热质量的热敏电阻以及其他非线性元件会迅速将失真引入纯正弦输入。过驱动的晶体或陶瓷滤波器也可能表现为非线性。如果在被动类别中包括带有负电阻的两个端子元件（气体放电管，隧道二极管），则存在更多可能性。

例外情况：

现实世界中的零件往往具有一些缺陷，使它们的行为有点像某些非线性元素。电阻可以具有“带有热质量的热敏电阻”，甚至具有“压敏电阻”的特性。由于压电效应，产生机械力的电场，化学效应（在电解中），电容器的值可能具有电压依赖性。同样，电容器也有一些类似驻极体的效应。金属对金属的接头会产生类似二极管的行为。电感器可能会由于铁心饱和，磁场与附近金属物体的相互作用等而变得非线性...

所有承载电流的电阻性组件都表现出一些产生噪声的行为，其下限由硬物理学定义。

请注意，所有现实生活中看似非正弦的重复信号都可以完美地描述为频率和相位变化的正弦波之和。

寻找与自然的联系将使您转圈：根据数学极客的说法，正弦波是制作圆形，椭圆形和圆形物体的主要成分（如果您想在计算机上画圆，则通常会使用正弦波/ cosine函数或以某种方式直接使用pythagoras定理...）。大自然制造许多圆形物体（头发，植物茎，樱桃，樱桃渍，龙卷风等），并为此目的提供充足的正弦波。

— and骨头的人
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您的答案是从向问题添加“线性”开始的。是的，实际上，大多数事情的行为都不是完全线性的。而且，在现实世界中很难找到完美的窦信号。番茄不是一个完美的圆圈，行星也不是它的轨道。实际信号对于使用multiple正弦建模确实不错。

— 罗兰

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- \infty

$-\infty$

+ \infty

$+\infty$ ，并同时向正方向可以是有争议的，为负的一部分，我们仅限于宇宙的年龄。

— Sredni Vashtar

我知道时间限制的正弦实际上会产生谐波:)

— rackandboneman 18-4-13

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通常将“电路”视为具有“输入”和“输出”端口的组件网络。借助欧姆定律等网络理论，您可以推导一个方程，即“传递函数”，该方程用输入来描述输出。使用“线性”组件，您将始终找到“线性”传递函数。

让我们描述一些线性函数，例如output = F(input)，output2 = G(input2)等等。然后这些分量的组合会导致一个组合函数如output2 = G(F(input1))。由于两个函数都是线性的，因此形式为y = a * x + b，那么这些组合也是线性的。

当将正弦输入信号施加到线性网络时，输出可以放大系数a，并移动电压b。使用复杂的数学或微分方程，您甚至可以得到“相移”，但不会得到不同的频率，因为正弦的导数具有相同的频率。

您想要更正式吗？

— 罗兰
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您的前提是错误的，或者您没有正确阐明边界条件。

考虑一个简单的无源器件，例如二极管。对于给定的条件，它将表现出非线性传递特性，从而产生非正弦输出

还考虑具有传递函数的理想谐振（LC）电路，该输出导致零输出-因此是非正弦的。

— 格伦W9IQ
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是的，现在他为问题添加了线性。

— 管道

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实际上，非线性设备更有趣。使用该简单的二极管，您可以例如解调无线电信号（晶体接收器）

— Roland

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线性时不变系统（通常是无源网络）的本征函数是复杂的指数，其实际叠加是任意相位的正弦曲线。

本征函数是在通过系统时仅会以恒定（在这种情况下为复数）因子变化的函数。线性系统是指那些与多个输入的总和相对应的输出对应于各个输入的总和的系统，因此您始终可以通过将它们的输入表示为方便的总和来对其进行分析。如果这个和可以是以正交本征函数为基础表示的和，那么事情就变得容易得多。

你好傅里叶分析。