什么是正弦波？

24

当一个学生问我时，这出现了。人们可能会想到一个简单的问题。除了...如何定义没有重言式的人？也就是说，无需使用“正弦”（或与此有关的余弦）一词。Wikipedia没有帮助，尽管移动的光盘可能具有相关性。

简而言之，我怀疑他的老师给了他一个严重的难题，尽管我可能错了。

这是电子课程的一部分。因此，大概可以从各种组件/电路的特性中得出任何答案。

sine

— 德克·布鲁尔
source

25

我投票结束这个问题是因为题外，因为这个问题与电子设计无关，而与数学有关。

— Michel Keijzers '18

9

@MichelKeijzers我不同意，因为这是电子课程的一部分。因此，大概可以从各种组件/电路的特性中得出任何答案。

— 德克·布鲁（Derk Bruere）'18年

14

我不确定您期望什么样的答案。对我而言，正弦函数只是涉及振动的许多物理现象的数学表示。任何振荡都可以构造成正弦函数的线性组合，从而使正弦成为所有周期函数向量空间的基础。

— PDuarte

15

@DirkBruere对于电子专业的学生，正弦概念应该来自数学课，而不是电子学。他/她何时学习三角学应该已经清楚了。我觉得您正在尝试在更高的领域中解释基本概念，这在教学法中并不十分有效。

— PDuarte

19

这是从侧面照亮的螺旋线的阴影。

— Dampmaskin

10

从此开始：

原理图

^{模拟此电路 –使用CircuitLab创建的原理图}

说：

我们有电感器L1。我们分别给 C1充电，然后如图所示快速连接，使该电路的顶侧相对于底侧处于+ 1V电位。

问问自己（或学生）：

接下来会发生什么？

聪明的学生会说：是的，这是L1两端电压的快速变化，因此需要一段时间，直到看起来更“ DC-y”，电流才开始流过L1并向C1放电，因此总电势将为0V。

但是电感器中的磁场呢

哦，是的，现在可以存储电容器的能量

因此，一旦C1（和L1）两端的电压为0 V，电流将永远停止流动？

不，磁场能量必须到达某个地方。因此，电容器再次充电。

我们可以为此加上公式吗？我们可以; 输入描述电容器和电感器两端电流和电压的微分方程。证明您需要一个其二阶导数为负的函数。

现在是最困难的部分，恐怕您对此无能为力：您需要说：嘿，这是一个正弦，它满足了这一条件。

— 马库斯·穆勒（MarcusMüller）
source

2

那是我第一个。我认为这将是一个不错的EE学生答案。但是我很久以前就学会了回答老师的期望……

— 德克·布鲁尔

3

尽管有普遍的看法，但我将其标记为答案，因为这是最适合EE学生提供给其老师的答案。正如人们所说，这是一个EE网站，而不是一个数学网站。但是，我真的很喜欢旋转矢量的解释

— Dirk Bruere

57

一种方法是相对于单位圆描述正弦波。半径显然会画一个圆，但x和y坐标会绘制出熟悉的波形。

这也有助于以图形方式说明Eulers公式：

$e^{i x} = cos(x)+ i\cdot sin(x)$

其中的特殊情况下收率欧拉恒等式： $x = \pi$ $e^{i \pi} + 1 = 0$

图片说明（来源：https : //betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/）

— 乔恩·RB
source

4

而一个点的圆周上的X和Y坐标都深深涉及到的定义cos和sin。如果您知道绘制图形时正弦函数的样子，那么您已经知道正弦波是什么。

— 蒙蒂·哈德

4

将这个答案改写为一个定义：“正弦波是一种形状或信号，可以通过将实数

映射到

的虚部的实数的函数来建模。这种函数称为the / a正弦函数，用

表示。”

x

$x$

e^{i x}

$e^{ix}$

\sin (x)

$\sin (x)$

— Todd Wilcox '18年

2

@ToddWilcox的定义非常有用！很简单。 （我的三角帆老师是一位助理教练，没有商业教学数学，而且伤害一直持续；）

— 周公爵

3

@ToddWilcox我真的不认为这是一个好答案，因为这与圈子是一样的道理。它仅遵循基本三角学的定义，基本三角学定义为单位圆的投影。如果我们使用该定义，那么问题是什么是e和什么是虚数。

— joojaa

1

@joojaa请记住，原始问题的核心是如何在不引用正弦的情况下定义正弦。就个人而言，我觉得基于三角形的正弦定义需要大量说明和图表，然后您必须将三角形抛在后面，然后用单位圆重新定义。假设数学上有一定的复杂性（例如，已经知道正弦是什么），那么基于欧拉公式的定义似乎是更优雅的答案之一。我的目标是一个简单，严谨和文字化的定义。我认为我找到了符合这些条件的产品。

— 托德·威尔科克斯

38

我发现最简单的解释包含在上面的运动图像中。都是关于圆内存在的直角三角形。

图片是从这里拍摄的。另请参见为什么正弦波优于其他波形。

— 安迪（aka）
source

17

我本人将其描述为旋转矢量的垂直分量（余弦为水平），但原理相同。

— 鲍德里克

2

在发布这样的概念时打败了我（我写作时不存在）

— JonRB

5

+1-SOH CAH TOA！

— 大卫·K

4

@DavidK我一直喜欢“幸福的微笑，拥有之后，啤酒的

— 酒杯

4

高钙的圣徒食用茶或酒精。

— 莱昂·海勒

21

很简单：时间t的正弦波是以下项的虚部：

e^{j ω t}

$e^{j \omega t}$

其中ω是角频率。

— 中央先生
source

6

+1这是所有电气工程中最基本的数学部分。鉴于问题来自学生，您可能需要详细说明。

— 乔恩

7

我将让我的助手Dave Tweed填写详细信息。

— 中央先生，

4

我很喜欢看一个学生，这个学生一旦得到这个定义，就试图“想象” e ^ jwt的一部分！

— Cort Ammon-恢复莫妮卡

@CortAmmon我知道您的意思，但了解describes描述正弦波会有所帮助，然后尝试弄清楚它的含义。

— DukeZhou

5

可能会有助于澄清EE用

表示虚数单位，而数学家用

表示虚数单位。

j

$j$

i

$i$

— Todd Wilcox '18年

16

物理学中的许多问题可以表述为具有恒定系数的二阶线性微分方程。

对于没有阻尼的连续（“谐波”振荡），运动可以简单地描述为函数及其二阶导数的微分方程。在不衰减的情况下，f通常是时间的函数，您将得到如下所示：

a f^{″} + f = 0

$af''+f=0$

您可以将正弦函数定义为f，该方程的一般解。可能表明这是解决此问题的唯一通用解决方案。

这是您的简单定义：用于描述常见现象的解决方案和良好模型。

另请参阅以下答案：https : //electronics.stackexchange.com/a/368217/39297

— 弗洛里安·卡斯泰兰（Florian Castellane）
source

我可以问一下在这种情况下“”的含义吗？我发现它是与双素数有关的...这是与时间有关的正确用法吗？

— DukeZhou

3

@DukeZhou是相对于上述自变量的二阶导数，在这种情况下为时间。

— Todd Wilcox '18年

2

红利答案（由于是红利，因此发布为评论）：在暂时的情况下，您具有指数项（在衰减的情况下减小指数）。如果使用指数考虑到这样的事实重写问题

你可以找到仅使用指数一个溶液，将其推广到的溶液

对于任何实数a，b

s i n (t) = ℑ (e^{j w t})

$sin(t)=\Im(e^{jwt})$

a f'' + b f' + f = 0

$af′′+bf′+f=0$

— Florian Castellane

1

表述此答案的另一种方式：正弦波是对象移动的位置，其位置始终与其加速度（具有适当的单位）相反。顺便说一句，从技术上讲，正弦波是微分方程的一般解是不正确的。这只是一个特定的解决方案。（我的重新措辞偷偷地说了这一点，但是用一种晦涩的方式。）

— LSpice

12

简单。从蒸汽机车开始。正弦波是其活塞相对于车轮角度的位置。*您可以在博物馆中看一看：用生动的色彩进行触发。

例如，在3:00和9:00位置（正弦波上的90和270，它是平坦的）上查看连杆，您会看到活塞有问题的地方：它无法施加任何力。这就是为什么在另一侧复制该机制的原因，异相90度。那个活塞正处于杠杆作用的顶峰。

该概念在3相（相差60度）时效果更好，这是蒸汽机车在可能的情况下（英国，谢伊）所做的，并且该概念如今已用于三相电力。

交流发电机也做同样的事情，因为转子上的直流磁场会扫过非运动的磁场绕组。驱动发电机，但是单相电动机可能像单活塞蒸汽机一样卡在上止点。这可以通过特殊的启动器绕组来解决。三相电动机没有这个问题。

这个概念一遍又一遍地出现在机械设计和电子设计中。正如其他人指出的那样，它自然而然地弹出了。还要注意，如果位置是正弦波，速度是正弦波，加速度也是正弦波，加加速度（dA）也是正弦波，则它一直是正弦波。运动的“完美矩形”。

* 现在，蒸汽机车主杆确实使它略微偏离纯正弦波，但这是一个相当长的杆（与您的汽车发动机不同），因此差异在操作上可忽略不计，机车制造商无需担心。

DaveTweed：不是重复的，因为我直接去了现实世界的应用程序。

— 哈珀-恢复莫妮卡
source

4

感谢您按照老式学校的技术来解决这个问题！ （我发现自己经常不得不指出计算机早于集成电路：）

— DukeZhou

2

@DukeZhou之前的电子/机电/机械计算机是人的计算机，它手动执行计算。

— JAB

然后添加换向阀齿轮，并带有一些“导程”以补偿不完美的阀门。是的，更多触发！

— 亚伦

7

这是另一种解释：

正弦波

适当的报价：

正弦波是一种重复的变化或运动，当以图形形式绘制时，其形状与正弦函数相同。

引用电子产品的更多信息：

您家中的电源是交流电或交流电。电流的方向每秒反转50或60次，具体取决于您的住所。如果按时间绘制电压，您会发现它也是一个正弦波，因为它是从旋转发电机中产生的。

在链接中，还可以找到有关振幅，周期和频率的正弦波的物理示例。

例如，重物被弹簧悬挂。随着时间的推移，当它上下运动时，其运动是正弦波。

— 米歇尔·凯泽斯
source

2

但是您现在又回到了使用重言式。

— 德克·布鲁（Derk Bruere）'18年

8

@DirkBruere不，他不是，正弦波和正弦波是不同的东西。如果您要问正弦的定义，那完全不是主题。其他答案只是想说“正弦是与谐波振荡器相关的微分方程的解，在电子设备中可以找到一些谐波振荡器的地方”。事实是，可以用多种方式来定义正弦，所有这些都在数学上是公理式的。对正弦波只能被定义为这个答案。

— DonFusili

@DonFusili感谢您的发言，我无法说得更清楚。

— Michel Keijzers '18

1

不知怎的，我不认为他会得到多少信贷这个问题的答案的方式，即使它是正确的

— 要么就让

2

我的感觉是，在确定结果之前，某些类型游戏的游戏总和也可以表示为正弦波（分数在-和+之间翻转，其中玩家1是+，而玩家2是-）

— 周六

7

Florian Castellane给出的答案表明，正弦波是一个非常基本的微分方程的解。但是，如果没有研究微分方程，这个答案可能很难理解。

当我们写：

，或可选地， $a \cdot f'' + f = 0$ $f'' = -\frac{1}{a}\cdot f$

所述˚F是一些变量，我们测量，和F“”是其二阶导数。

这个微分方程出现在物理学中的很多地方：

$F = kx$
电子设备： f是电压，f'是电流，f''是电流的变化率。这与电感器的公式相同，其中电流的变化率由给出 $\frac{dI}{dt}=\frac{1}{L}\cdot v$

但是恰好还有正弦波的另一个来源，这与圆周旋转有关。安迪（aka）的答案很好地说明了这一原理。圆周旋转会在例如发电机以及我们自己的太阳系中引起正弦波。

— pa
source

2

这个。在电气工程中，最自然的解释是它是系统值的二阶导数与当前值成反比的解决方案。

— MooseBoys

@jpa，您的“另一个来源”，圆周运动，也是在物理上出现相同的微分方程的地方，对吗？因此，这可能只是第三个子弹。与弹簧类似，f是位置的垂直分量，f'是速度的垂直分量，f''是加速度的垂直分量。即使机械原理不同于弹簧，加速度也与位置线性相关。

— LarsH

@LarsH是的，在数学上。但是从直觉上讲，这似乎更像是后果，而不是原因。

— jpa

好。我没意识到您是说要点仅限于某些因果关系模式。

— LarsH

7

$A\sin(\omega t + \varphi)$ （用COS或作为复指数的实部或虚部或equivilently）

但这有点是重言式，是什么使罪变得特别？为什么我们将正弦波视为“纯”频率。

答案就是它在差异化下的表现。

\frac{d}{d t} A \sin (ω t + φ) = A ω \cos (ω t + φ) = A ω \sin (ω t + φ + \frac{π}{2})

$\frac{d}{dt}A\sin(\omega t + \varphi) = A\omega\cos(\omega t + \varphi) = A\omega\sin(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$

因此，正弦波的导数是相同频率的正弦波。当然，它的相移且幅度不同，但频率和形状相同。

除了人为常数之外，积分同样适用。

\begin{aligned} \int A \sin (ω t + φ) d t & = - \frac{A}{ω} \cos (ω t + φ) + C \\ = \frac{A}{ω} \cos (ω t + φ + π) + C \\ = \frac{A}{ω} \sin (ω t + φ + \frac{3 π}{2}) + C \end{aligned}

$\begin{alignat}{2}\int A\sin(\omega t + \varphi)dt & = -\frac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi) + C \\ & = \phantom{-}\frac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi + \pi) +C \\ & = \phantom{-}\frac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi + \frac{3\pi}{2}) +C \end{alignat}$

正弦波是唯一适用的真实周期函数。当所有其他实际的周期函数经过微分或积分时，它们的形状都会改变。

所以我们可以说

“正弦波是一种周期性信号，在进行微分或积分时可以保持其形状和频率”

— 彼得·格林
source

2

A \cos (ω t + φ)

$A\cos(\omega t + \varphi)$

3

是的，cos只是罪的相移版本。因此，同样适用于它。

— 彼得·格林

2

另一个相关问题是，对于某些特定于滤波器的函数X（ω）和Y，将Asin（ωt+φ）添加到任何线性滤波器的输入中都会将X（ω）sin（ωt+ Y（ω））添加到输出中（ω）。正弦波的形状不仅在积分和微分方面是不变的，而且在任何类型的线性滤波方面也是不变的。[如果不了解积分/微分与线性滤波器之间的关系，这一事实可能会很有用]。

— 超级猫

6

物理学中的许多系统都允许正弦波突然出现。例如，当您还年轻的时候，您会看到稳定水中的涟漪，推动并放开后的摆动动作，并尝试弯曲一个硬的尺子然后放开它。这些东西虽然有所不同，但是却具有一个共同的特性：它们摆动，摇摆，或……振动或……更普遍地，它们来回摆动。数年过去了，然后您发现自己进入了工程课，在那里您研究了所观察到的这些令人费解的东西的真实情况，却发现它们以相同的方式摇摆！这就是正弦波。这是典型的浪潮，因为它在自然界中的存在意义重大。谁知道，如果稳定水中的波纹是方波，如果秋千的运动采用方波的形式等等，那方波将是典型波形，那恰恰是不是真，正弦波在宇宙中如此显露无遗。

真正有趣的是，正弦波起源于三角形和圆形。现在，在没有数学知识的情况下，很难将那里的点连接到水，秋千，标尺等正弦波的表现形式上，但要点是，正弦波的导数是正弦波，并且可以通过圆和直角三角形的几何图形找到。并且可以通过微分方程对物理系统进行建模，从而确定这些系统中存在正弦波（也请不要忘记指数；它们在自然界中的存在也具有重要意义；它们与正弦波有着深深的联系），这最终在欧拉公式中得以揭示）。

正弦波的另一件事是，它们可以很好地“通过”某些系统。对LTI系统（例如，仅由理想电阻器，电容器和电感器构成的系统）有一个正弦输入，您将获得一个正弦输出（特别是一个保持输入频率的输出）。换句话说，正弦波形是唯一不会通过LTI系统改变形状的唯一波形。看一眼这堂课。

正弦波的可悲之处在于，从技术上讲，它们不存在。从自然界中得到的正弦波也会有一些变形，扭曲，噪声以及理想的无源分量，这是不存在的。这些可以得到的最好的结果就是正弦波的近似值。但是，如果某人如此精巧地发展数学，以至于考虑到了这些缺陷，那么测量可以变得越来越精确（由于量子力学和所有巨大的庞杂性，这可能仅限于原子级）。

— mjtsquared
source

正弦波通常来自微分方程，而不是直线和圆，并且指数计算更容易，正好是正弦函数表达更简单。而不是复杂的幂运算。

— 杰森

我说的是正弦波的基本组成部分，即正弦（也许是余弦）函数的定义。我没有提那一个错误。

— mjtsquared

6

沿时间以恒定角速度和方向沿圆运动的点的正交投影。

— 托米斯拉夫·古德利
source

2

可视：en.wikipedia.org/wiki/File

— Daniel Daniel

最后！这些天似乎大家都忘记了几何！

— 何塞·曼努埃尔·戈麦斯·阿尔瓦雷斯

3

最简单的显示方法是将螺旋线投影到包含螺旋线中心线的平面上。如果将标准螺旋弹簧放在高射投影仪上，它将投射出正弦波。（如果您是一位纯粹主义者，请相应地旋转以更正相位。:-)

— 克里斯托波尔多时空
source

3

我通过建议建立一个老式的“绘图仪”设备的想法来使它具体化……可以使一张纸向前和向后滚动，然后有一个笔和一个只能在一个轴上移动的手臂的东西。

如果您试图让某人考虑构建这样的机器，那么您可以轻松地使他们考虑对其进行编程以绘制直线和正方形。当他们以相同的速度移动纸和笔时，让他们考虑绘制钻石也相对容易。

然后，如果他们开始考虑画一个圆需要什么，他们就必须考虑与画钻石有何不同。他们必须先加快然后放慢手臂的运动，然后再走另一条路。

我觉得以这种方式具体化可以使图表变得神秘。

— 敌对叉子
source

3

想象一下旋转的光盘。垂直定向。在边缘的某个地方放一口口香糖。从侧面看。在其后方放置老式相纸，并在其前面放一盏灯。以恒定的速度拉动纸张，将其展开，您将看到正弦波。

正弦波是简单谐波运动问题的基本解决方案。这是diff eq y =-k dy ^ 2 / dx ^ 2。

— 冲浪蛇
source

1

如果您正在与工程专业的学生/初学微积分的人打交道，那么您可以说正弦函数是一个其导数本身会回移90度的函数。换句话说，它改变位置的速率与它改变速度的速率相同，尽管不同时。

— 约翰·杜
source

-1

描述正弦波有什么特别之处的一种方法是，它是“纯”频率。任何解析重复功能都可以描述为正弦波的组合。正弦波是可以分解为此类功能的构建块。

声音也是振荡产生的“自然”波形。想象一下，在弹簧的末端悬挂着一个物体。一旦掌握了它，它就会上下摆动。有了完美的弹簧，垂直运动与时间的关系就成为正弦波。在现实世界中，由于弹簧在每次弯曲时都会消耗一点能量，因此正弦波的振幅会缓慢衰减。

在电容器和电感器并联的电子设备中也可以看到相同的效果。如果给电容盖充电，然后合上一个开关，使电感器和电容盖并联，如果理想的话，能量会无限期地在两者之间来回运动。电压和电流均为正弦波，但彼此相差90°。就像弹簧和质量一样，在现实世界中，两者的振幅实际上都会随着时间的推移而衰减，因为部件中的某些能量由于不理想而耗散了。我进入这样一个电感器和电容器电路更详细的在这里。

— 奥林·拉斯罗普（Olin Lathrop）
source

正如在对另一个提出相同论点的答案的评论中所讨论的那样，您可以分解为方波或三角波的无限大和。但数学不会像漂亮，而且这是在那里的特殊性sin用武之地

— 彼得·科德斯

而且，顺便说一句，与之a成比例的理想振荡器的物理术语-x是一个简单的谐波振荡器，它产生简单的谐波运动。弹簧，摆锤（振幅较小sin(theta)~=theta）等

— 彼得·科德斯

1

@Peter：是的，我同意你的观点。我故意将此类问题排除在答案之外，以使其简单易懂。询问正弦波是什么的人不太可能通过大量数学来理解答案。考虑到问题的严重性，我认为答案的简单性比进入所有细节更为重要。

— 奥林·拉斯罗普

好的，但是如果您这样说，我不认为您会避免使用重言式（或做出正确的论点）。正弦波是用于分解信号的自然现象的原因是一堆复杂的数学运算。了解和指出信号是一件有用的事情，我猜想正弦波，但是它是从其他因素中得出的，例如正弦/余弦导数（相同相位的信号）。也许您可以说分解成正弦波是很自然的，因为这是简单的谐波振荡器的总和，可以避开数学并连接答案的两个部分。

— 彼得·科德斯

1

@PeterCordes：将正弦波通过任何线性滤波器将产生DC或具有相同形状和频率的波。使大多数非正弦波形通过大多数线性滤波器将产生包括原始频率所不包含的频率在内的结果。如果将一个振荡器看作是一组配置成环形的滤波器，则该振荡器只能支持的周期性波形是通过所有滤波器后会产生原始波形的那些波形。尽管某些线性滤波器可能会保留某些非正弦波形，但是……

— 超级猫

-2

考虑任何类型的波形（方形，三角形，锯齿形，脉冲）模拟或数字波形。所有波形都是由大量的各种波形（频率，幅度和相位不同）加在一起构成的。这种被称为正弦波。

— 亚什·拉吉（Yash Raj）
source

4

您也可以将所有其他波分解为三角波总和或方波总和。数学不是那么好，因为sin很特殊。但是，为什么罪特别？您并没有真正避免重言式。

— 彼得·科德斯

2

@PeterCordes：答案应该进一步指出，正弦波是唯一一种线性滤波不能改变直通信号中存在的频率集合的波（除非通过消除除DC以外的任何频率）。如果通过线性滤波器函数F（f（t））= f（t-1）-f（t）+ f（t + 1）使周期为3的方波或三角波通过，则结果将为平方周期为1（频率的3倍）的波形或三角形。

— 超级猫

@supercat您建议的过滤器不会为三角形/正方形输入提供三角形/正方形波。请参阅输入和输出。

— 罗斯兰

@Ruslan：对不起-当使用3的周期时，我应该使这三个术语都为正；我给出的公式在6个周期内都是正确的。无论哪种情况，它都会将相移120度的三个信号加在一起。这样的滤波器不能保留所有波形的形状，但是可以保留许多波形的形状，包括三角波，方波，锯齿。

— 超级猫