将具有状态反馈的PID控制器组件转换为单传递函数和离散状态空间形式

作为一个为期一年的项目的一部分，我已经为这个问题努力了大约一个星期。我们正在基于模型设计用于特定反应堆的控制器。在看了一段时间之后，我仍然无法使它正常工作-因此，如果能得到一些帮助，我将不胜感激。

我们大量依据的一篇已发表的文献评论将PID控制器列出到每个单独的组件中，而不是一个组合方程式，如下所示：

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [G (n) - t a r g e t] \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{p}}{T_{I}} [G (n) - t a r g e t] \\ D (n) = K_{p} T_{D} \frac{d G}{d t} (n) \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

只需将三个组件组合到PID控制器输出中即可：

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

然后，作者在PID信号之上添加了一层状态反馈，以获取最终的控制器输出应用于系统。

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1) + K_{1} Q (n - 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 + γ) P I D (n) - γ Q (n - 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

R是最终的“控制器输出”。这里，是过程增益，和是积分增益和微分增益，和是针对状态反馈（不可变）调整的“增益”，而是常数0.5。是系统状态，是影响模型动力学的估计状态，是发送到工厂的实际最终输出。 $K_p$ $T_I$ $T_D$ $K_0, K_1$ $K_2$ $\gamma$ $G(n)$ $Q(n)$ $R(n)$

我试图首先将整个过程转换为单个控制器传递函数，但是有人告诉我，简单地将它们加在一起是行不通的。

我还负责查找该控制器的离散状态空间表示形式。为此，我尝试将更改为来解决该问题。 $\frac{dG}{dt}(n)$ $G(n)-G(n-1)$

接下来，我尝试为定义一个新的状态变量，以便将和转换为一阶。 $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$

然后，我尝试将这些值替换为PID控制器，以获取作为状态变量。这些努力都是基于我教授的建议。 $G(n)$

但是，我仍然非常困惑，因为我一直在盲目地跟随他的方向，没有一个整体的愿景来进行工作。我以为这是Tustin转型的简单问题-哦，我怎么错了...

我很沮丧，因为经过一个星期的努力，我仍然为看起来很简单的问题感到困惑。

如果可能的话，我是否可以在这两个具体问题上谦虚地寻求您的帮助？

将此控制器转换为单个控制器传递函数（通常在任何传递函数表示中均可见，即） $G(s)=\frac{1}{s+1}$
将此控制器转换为离散的状态空间表示形式，而将采样率保留为变量？

control-system pid-controller

— 约翰·加尔特
source

MATLAB和Maple可以解决这些问题。我有两个程序。我已打印出您的帖子，并会尝试使用它们。我在大学里做了一些。

— 韦斯利·沃特曼

您可以提供出版物的标题吗？

— Hazem

这不是一个完整的答案，但我希望它可以有所帮助。

您可以将第一个系统重写为

{\begin{cases} P (n) = K_{P} E (n) \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t \\ D (n) = K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

$E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

现在，您可以将系统重写为错误的单个功能。

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

I (n - 1) = P I D (n - 1) - P (n - 1) - D (n - 1) = P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

P I D (n) = K_{P} E (n) + P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t} + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t + K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} = P I D (n - 1) + K_{P} ((1 + \frac{Δ t}{T_{I}} + \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n) - (1 + 2 \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n - 1) + \frac{T_{D}}{Δ t} E (n - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

第二个要重写为单个方程式要复杂一点，但是您可以用类似的方式来完成。结果应该是

R (n) = K_{1} R (n - 1) - (γ K_{0} + K_{2}) R (n - 2) + (1 + γ) (P I D (n) - K_{1} P I D (n - 1) + K_{2} P I D (n - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

现在，您只需要替换PID方程，即可获得作为误差函数的调节器方程。

— Gvgramazio
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