为什么时间常数是63.2％，而不是50％或70％？

30

我正在研究RC和RL电路。为什么时间常数等于输出电压的63.2％？为什么将其定义为63％，而不是其他任何值？

电路是否以输出电压的63％开始工作？为什么不达到50％？

— 巴拉·苏巴拉曼
source

41

1-e ^ -1 = 0.6321 ...

— 安德鲁·莫顿

3

它与1 / bandwidth一致，并且是一阶滞后时间值或。在放射性衰变中，它们使用50％（“半衰期”）。

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— 楚

1

@AndrewMorton：我不完全确定关于我的说法，我猜想这仅仅是标题的答案。

— Ilmari Karonen

4

@code_monk：有趣的？

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— Nominal Animal

3

只是一个小问题：时间常数未定义为63％。它被定义为指数函数指数中系数的倒数（请参见本主题的出色答案）。它只是原来作为结果，一个时间跨度之后的量的值等于所述时间常数约（与2位精度）的初始值的63％。

— 洛伦佐·多纳提

64

其他答案还没有想出什么使Ë特殊：定义时间常数的因数下降的东西所需的时间Ë意味着在任何时刻，变化率将是这样that-- 如果速率保持不变-衰减到零所需的时间将是一个时间常数。

例如，如果一个电容器的电容为1uF，电阻为1M，则时间常数将为一秒。如果电容器充电到10伏，电压将以10伏/秒的速度下降。如果充电到5伏，电压将以5伏/秒的速度下降。变化率随电压的升高而降低的事实意味着电压实际上不会在一秒钟内衰减为零，但是在任何时刻的降低率将是当前电压除以时间常数。

如果将时间常数定义为任何其他单位（例如半衰期），则衰减率将不再与时间常数很好地对应。

— 超级猫
source

3

这很可能是最好的答案，因为它以切实的方式回答了“ 为什么？ ” 的问题，而不是显示“ 如何 ”进行计算。

— BORT

太棒了，我简直不敢相信我从未学过！（顺便说一句，一张图会使这个答案更加出色）。

— 恢复莫妮卡

1

这是极好的直观见解。+1

— Spehro Pefhany

1

我认为“在任何时候的下降速度将是当前电压”，尽管在这种情况下“电流”是模棱两可的，但这两种含义都起作用。

— 累积

11

@supercat-我添加了一个示例图。随时提出任何更改建议。

— 恢复莫妮卡

49

它内置于与一阶系统相关的指数衰减数学中。如果在t = 0处的统一的响应开始，在此之后一“单位时间”，该响应是。当您查看上升时间时，可以将其减去1，得出0.63212或63.2％。 $e^{-1} = 0.36788$

“时间单位”称为系统的“时间常数”，通常表示为τ（tau）。系统响应时间（t）的完整表达式为

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

因此，时间常数是一个有用的量。如果要直接测量时间常数，则需要测量达到其最终值的63.2％所需的时间。

在电子设备中，当使用欧姆，法拉和亨利作为分量值的单位时，可以得出时间常数（以秒为单位）等于RC电路中的R×C或RL电路中的L / R。这意味着，如果您知道时间常数，则可以推导其中一个分量值。

— 戴夫·特威德
source

1

对于指数衰减或上升，我们应该使用阶跃响应来降低复杂度。这样就考虑到e-1了，对吗？

— Bala Subramanian

@BalaSubramanian：是的，是的。

— 戴夫·特威德

但是我有一个疑问，例如在设计用于定时器或计数器的RC电路时，它会在特定时间段进行放电和充电。时间周期是否与时间常数相同。所需的IC或设备是否在63％的电压下停止工作？

— Bala Subramanian

2

@BalaSubramanian：不，不一定。每个计时器都有自己的阈值选择方法。例如，著名的555使用1/3和2/3 Vcc作为其阈值，这意味着其时间间隔为0.693·R·C或1.1·R·C，具体取决于操作模式。

和

。

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

— 戴夫·特威德

11

电容器并联至Vo的RC并联电路的衰减

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

$\tau$

换句话说，时间常数由RC乘积（或L / R比）定义，看似任意的电压是该定义和指数衰减或充电方式的结果。

指数衰减是各种物理过程（例如放射性衰减，某些冷却等）所共有的，并且可以用一阶常微分方程（ODE）来描述。

假设您想知道电压为初始电压（或从0充电时为最终电压）的0.5 的时间。（从上面）

$\ln(0.5)\tau$

$\tau$

— 斯佩罗·佩法尼（Spehro Pefhany）
source

10

那是一个非常粗略的近似。

— 阿森纳

1

@Arsenal如果您愿意，我可以使用MATLAB并将其保留到几千位小数。

— Spehro Pefhany

2

@阿森纳，我想22/7对你来说还不够好吗？：D

— Wossname

3

22/7是e的可怕近似。19/7更好。

— alephzero

2

@SpehroPefhany（写给您所近似的近似值）我总是对数学界人士喜欢花费时间的方式感到惊讶（好吧，我猜填字游戏对他们来说太简单了！:-)

— Lorenzo Donati支持Monica

3

作为Dave Tweed，supercat和Spehro Phefany的其他出色回答的补充，我将加2美分。

首先，我在评论中写道，时间常数未定义为63％。形式上，它定义为指数函数的指数系数的倒数。也就是说，如果Q是相关量（电压，电流，功率等），并且Q随着时间衰减，则为：

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

$\tau = 1 / k$

$t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

其他答案仅是微不足道的，是为什么做出了这一选择。答案很简单：时间常数为比较相似过程的演化速度提供了一种简便的方法。在电子产品中，时间常数通常可以解释为电路的“反应速度”。如果您知道两个电路的时间常数，则可以通过比较这些常数来比较它们的“相对速度”。

$\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

换句话说，时间常数是传达发生现象的时间标度的一种简单易懂的方式。

— 洛伦佐·多纳蒂（Lorenzo Donati）支持莫妮卡（Monica）
source

-1

$e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

— 马蒂斯·豪斯曼
source