关于奈奎斯特采样准则的书是否有误？

书中的以下说法有误吗？

我认为以两倍于信号最高频率分量的采样足以完全恢复信号。但是上面说采样两次会产生锯齿状的波浪。这本书错了吗？

我认为以两倍于信号最高频率分量的采样足以完全恢复信号。但是上面说采样两次会产生锯齿状的波浪。这本书错了吗？

这本书是错误的，但不是您想的原因。如果斜视指示样本的点，则其采样频率是其表示频率的两倍。

因此，首先，您应该绘制一些信号并自己进行采样（如果您不愿使用铅笔和纸，则可以使用数学软件包）。

其次，奈奎斯特定理说，如果您已经知道信号内容的频谱严格小于采样率的1/2 ，则理论上可以重建信号。

您可以通过低通滤波来重构信号。在滤波之前，信号可能会失真，因此您必须知道要查看的内容才能看到结果看起来还可以。此外，信号内容的频谱越接近奈奎斯特极限，则抗混叠和重构滤波器中的截止点就需要越锐利。从理论上讲这很好，但是在实践中，滤波器在时域中的响应会随着从通带到阻带的过渡程度的增加而大致变长。因此，一般而言，如果可以的话，您可以在Nyquist之上进行采样。

这是一张与您的书本应说的相符的照片。

案例A：每个周期一个样本（样本变得明显）

案例B：每个周期有两个样本，落在交叉点上-请注意，这与每个周期一个样本的输出是相同的，但这只是因为我在交叉点上对第一个样本进行了采样。

情况C：同样，每个周期有两个样本，但这一次是极端的。如果您采样的信号频率恰好是信号分量频率的两倍，那么您将无法重构。从理论上讲，您可以采样得稍低一些，但是您需要一个具有脉冲响应的滤波器，该滤波器的响应范围应足以覆盖结果，以便可以进行重构。

情况D：以4倍的信号频率进行采样。如果连接点，则会得到三角波，但这样做是不正确的-在采样时间内，采样仅存在于“点”处。请注意，如果你把这个通过一个体面的重建滤波器，你会得到一个正弦波回来了，并且如果你改变你的采样，然后输出将相位同样可以转变的阶段，但其幅度也不会改变。

图片B是非常错误的。它在输出信号中包含非常尖的角。非常尖的角等于非常高的频率，比采样频率高得多。

为了满足奈奎斯特采样定理，您需要对重建的信号进行低通滤波。经过低通滤波后，信号B看起来像输入信号，而不像三角形（因为所有的尖角无法通过低通滤波器）。

确切地说，您需要同时对输入信号和输出信号进行低通。输入信号需要进行低通滤波以最大采样频率的一半，以免“折叠”更高的频率。

可悲的是，这是对采样工作原理的常见错误描述。更正确的描述将使用sinc函数进行重建（我建议搜索sinc函数）。

在实际应用中，不可能有一个“完美”的低通滤波器（使所有低于下面的频率通过而阻止所有上面的频率）。这意味着您通常会以至少要复制的最大频率的2.2倍的频率进行采样（例如：CD质量以44.1 kHz采样，以允许最大20kHz的频率）。即使是这样的差异，也很难创建模拟滤波器-多数现实世界中的应用都会“过采样”，部分原因是数字区域中的低通滤波器也是如此。

采样定理指出，如果采样频率严格大于信号中的最高频率含量，则可以完美地重构信号。但是这种重建是基于在每个样本上插入（无限）正弦脉冲。从理论上讲，这是非常重要的结果，但实际上不可能完全实现。在书页中描述的是一种基于绘制样本之间的直线的重构方法，这是完全不同的。因此，我会说这本书是正确的，但它与采样定理无关。

Unser：Sampling是《Shannon》问世50年后的一篇很好的综述论文。您的问题是由于Shannon采样定理未涵盖纯正的无限正弦信号。适用于周期信号的定理是较早的奈奎斯特采样定理。

的香农采样定理适用于可被表示为功能

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

其中X是平方可积函数。然后，该信号可以从离散样本中准确表示为

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

与 $T=\frac1{W}$一段时间”。注意，完美的重构取决于将来和过去任意多次采样。因为他们的影响力只有$\frac1t$，截断和必须包含大量的项以减少错误。

该类中不包含纯正弦函数，因为其傅立叶变换由狄拉克-德尔塔分布组成。

较早的奈奎斯特采样定理指出（或重新解释了较早的见解），如果信号是周期为T且周期为最高频率W = N / T的信号，则该信号为三角多项式

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

具有2N + 1个（非平凡的）系数，并且可以从该周期内的2N + 1个样本中重构这些系数（通过线性代数）。

纯正弦函数的情况属于此类。如果在时间NT上采集了2N + 1个样本，则可以实现完美的重构。

什么已经从书中共享并没有说任何有关“奈奎斯特采样准则” -这只是说说点采样一个假设ADC的正弦波，然后（隐式）使用构建的输出信号（略）在样本值之间执行线性内插的简单DAC。

在这种情况下，“图6.10”的论文陈述通常是正确的并得到充分证明。

随着ADC采样频率的增加，数字化信号的保真度提高。

如果您想谈论理想化重建的忠诚度，那完全是另一回事。关于奈奎斯特速率的任何讨论都暗示使用正弦插值，同样，在图中未提及。

该图中的真正缺陷是，点采样在工程中是一个有意义的概念。实际上，ADC将连接到传感器组件，该传感器组件通过在一段时间内累积实际输入信号来工作。

有趣的是，尽管图中的“输出”仅受“ C”情况的影响，但该图显然与图表中所示的特定采样频率有误（相差两倍）。

使用上面引用的陈述，在有关EEG波形处理的讨论中，我在“神经生理学术中监测的实用方法”中找到了一个极为相似的图表。就其价值而言，该讨论包括以下内容：

描述ADC忠实表示模拟信号所需的最小采样频率的定理被称为奈奎斯特定理。它指出，ADC的采样频率必须大于波形最快频率分量的采样频率的两倍。