条件稳定性

我正在学习运算放大器和反馈，以及反馈如何影响其稳定性。遇到此问题时，我一直在阅读有关增益和相位裕度及其用途的信息：

考虑到在大约2 kHz的频率下反馈是正的，我不太理解图中所示的系统如何稳定。我以为这会导致2 kHz的频率变得越来越大而不收敛。

为什么这个系统会稳定？

这就是为什么我认为人们应该首先使用Nyquist图，然后使用Bode图以及相关的增益和相位裕度图来研究稳定性的原因。

增益/相位裕度只是一种方便的方法，用于确定系统在奈奎斯特图达到-1的距离上接近复平面右侧的极点，因为在部分分数扩展之后，这些项与正极最终以具有正系数的时间指数形式结束，这意味着它趋于无穷大，这意味着它是不稳定的。

但是，它们仅在奈奎斯特图为“正常外观”时起作用。很有可能是它做了这样的事情：

因此它违反了相位裕度规则，但是开环传递函数G（s）H（s）并未围绕-1，因此1 + G（s）H（s）的右侧没有零，这意味着闭环在右侧没有极点，因此它仍然稳定。

条件一词来自这样一个事实，即增益具有一个上限/下限来保持这种方式，并且越过上限会使系统不稳定（因为它会改变曲线的幅度以改变-1被环绕的次数）。

开环响应中的条件稳定性。

首先，由于这是来自Ridley的信息，您可以打赌这是电源转换器的开环响应。对于所示的小线性环路干扰增益，该响应将保持稳定。如果环路干扰变得足够大以驱动放大器进入非线性工作状态，则由于非线性区域工作将具有较低的放大器增益，因此环路很可能会发生振荡。

像这样的环路的问题在于，尽管它们是稳定的，但系统的增益通常会随输入电压，负载或温度或所有这些的组合而广泛变化。如果使用条件稳定循环，则必须验证在任何操作模式（包括启动条件）下，这些依赖性都不是因素。一旦这些类型的环路开始振荡，它们就会趋于粘滞（振荡会降低增益，使之如此）。

请注意，所示的环路已正确补偿了2个零，以覆盖2个极点。问题在于极点可能来自环路中的LC滤波器（复杂极点）。将有一个低损耗电感器和一个低损耗电容器组，它们将结合在一起以提供高Q响应。由于Q高，LC的所有相位贡献都将发生在很小的频率范围内。从图中可以看出，相位损失为180度时约为八度。运算放大器的补偿零点很简单，因此相位提升将在2个十倍频程（最小）上发生。因此，即使有足够的相位提升来弥补LC的相位损失，两极附近的中间也将出现相位下降并且没有相位差或负相位裕量。

此类循环响应的可能补救措施：

• 可以对补偿零点进行分割，以使零点出现在两极之前（将两极括弧），并提前增加一些相角。这可能会导致相位下降时有更多的相位裕量，但可能还不够。

• 最佳措施通常是降低LC滤波器的Q。

循环解构：

为了说明这种开环响应是如何产生的，可以使用简单的模型来解构该环。

我真的不知道使响应发布到OP的电路，但是我怀疑，基于响应的方式，它看起来是来自连续导通模式升压调节器。基本模型将包括LC滤波器，PowerModulator和Error放大器。AC开环版本的半示意图为：

该电路通常会反映CCM升压回路的行为，尽管此处的细节被选择为合理的，并且以最少的工作量获得了与发布的回路的最方便的匹配。这只是一个工具，可以帮助分离循环的所有部分，并展示它们如何一起构成整个循环。

让我们从这个模型的结果开始，即完整的循环：

还不错...看起来很接近原始版本。您会看到环路的基本特征是一个积分器，它在1000Hz处具有LC谐振干扰。在低于LC极点的频率处，环路增益以每十倍-20dB的频率衰减，而在高于LC极点的频率处，增益则每十倍的衰减恢复-20dB。因此，由于总体上有一个1极（-20dB /）滚降，因此通过用零覆盖这2个LC极来管理它们。在〜20kHz以上会出现其他伪像。LC滤波器中的ESR为零，右半平面为零（rhpz）和奈奎斯特频率；将会简短地提到。

LC滤波器响应：

在这里，您可以看到LC极点为1kHz，的影响在处为零。注意LC极的相位行为是如何压缩的，几乎所有变化都发生在几个八度音程中。 $C_o$

带有LC滤波器的功率调制器：

功率调制器已添加到此处的LC滤波器中。功率调制器具有30dB的增益，右半平面的70kHz频率为零，奈奎斯特频率的极点频率为100kHz（是的，我知道添加极点不是处理奈奎斯特的正确方法，但是为此必须这样做）。除了具有30dB的增益外，增益曲线看起来与LC相同。但是那个阶段呢？像lhp极点一样显示相位的rhpz，但是像lhp零一样获得增益。这主要是为什么开环相位在LC谐振后永远无法恢复到您想像的那样的原因。

误差放大器：

在这里，您可以看到放大器的响应及其低频积分器极点，随后是大约1kHz和7kHz处的2个零点，以及42kHz处的极点，可以使最后一个零点变平，然后进入放大器的增益带宽限制。

运算放大器的带宽为20MHz，增益为140dB，低频极点为2Hz。积分器增益由R1和C1设置。第一个零由C1和R3设置。第二个零由C2和R1设置。调平极点由C2和R2设置。

首先要澄清一下。您绘制的是环路增益L（s），它对应于下图中的G（s）H（s）：

在这种情况下，完整的传递函数（也称为闭环增益）为：

只要该函数在s平面的右侧（RHS）上具有极点，则逆变换将具有不断增长的指数（这意味着它是一个不稳定的系统）。这与找出1 + L（s）的s平面的RHS上是否有零相同。因此，基本上，不稳定是由环路增益决定的，无需计算更复杂的闭环增益。因此，谈到稳定性时，曲线几乎总是环路增益L（s）。

回到您的问题：

关于当反相（-180）时增益大于0dB时系统不稳定的断言，让我用一个容易理解的反例来回答。考虑一下很简单：

^{模拟该电路 –使用CircuitLab创建的原理图}

根据过度假设的准则说：

如果环路增益在-180°处为正，则系统将不稳定。

那么| K | > 1，那么它必须不稳定。

事实并非如此。输出为：

稳定。

另一方面，如果K = -1，那么我们有一个问题（变得不稳定）。

上面只是一个常数的示例，但是通常只要知道-180处的增益> 0dB并不意味着系统不稳定。如果您的书说了这一点，那是错误的（但是对于许多典型案例来说似乎是正确的）。

如果您开始想象上述系统有一个很小的延迟，并且信号E没有时间响应并且具有错误的值，然后查看它如何在循环中迭代传播，您将得出结论，信号将在没有信号的情况下增长界。这样一来，您将陷入难以摆脱的心理陷阱，我认为这是潜在的误解，无法从概念上接受问题中的系统可以保持稳定。

波特图只是Nyquist的一部分，波特稳定性标准仅在典型的Nyquist图时适用，但Bode只是一种便利（比Nyquist绘制更容易）。

Nyquist图及其简化的Bode图只是图形方法，主要用于：

1. 找出系统是否具有RHS极点，这些极点正成指数增长。
2. 获得有关系统距离稳定/不稳定状态有多远的见解以及可以采取的措施。

还要澄清一下，没有沼泽可以将不稳定的频率降到最低。一种简单的解释是，总响应是所有频率响应的叠加，因此根本没有固定的方法，就像您无法以任何数量的频率消除某个频率的正弦波一样不同频率的正弦波。

但是话又说回来，考虑使系统不稳定的频率也是不正确的。这种不稳定性与具有无限共振频率的不一样，例如在无阻尼的二阶系统中。那是一个振荡的系统，但是我们正在谈论的不稳定是不受任何输入（零除外）的限制而增长。

一种简单的证明方法是，意识到一个不稳定的系统将在s平面的RHS上具有极点，并且：

因此，它不可能消除相乘的传递函数中的一个极点。输出仍将无限增长。

只有在增益的零交叉处相位差时，振荡响应才起作用。该环路在条件上是稳定的，因为如果某个因素降低了增益（导致其过早地过分），则它可能会在相位危险的2kHz区域处过分并产生振荡响应。

为了使该环路无条件稳定，必须要么进行一些相位增强，以将2kHz的部分移出危险区域，要么必须以更低的频率跨越增益（在相位崩溃之前的区域）。