为什么在交流分析中使用而不是？

在AC分析中，当我们处理或时，。但是对于拉普拉斯变换，。小号大号1 /小号ç 小号= σ + Ĵ $s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

抱歉，我含糊不清，但我想在下面提出以下问题：

• 为什么sigma等于零？
• Neper频率与此相关吗？
• 由于输入信号是常数的正弦曲线，所以sigma是否等于零？$\pm V_{max}$

当然，根据定义，。发生的事情是被忽略，因为它假定为零。这样做的原因是，我们正在研究系统对周期性（因而无衰减）正弦信号的响应，从而拉普拉斯可以方便地沿虚轴减小到傅立叶。拉普拉斯域中的实轴表示纯信号所没有的，傅立叶没有建模的指数衰减/增长因子。$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

对于AC分析，假定电路具有正弦波源（具有相同的角频率 ），并且所有瞬态均已衰减。这种情况称为正弦稳态或AC稳态。$\omega$

这允许在相量域中分析电路。

使用欧拉公式，我们得到：

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

与相关的相量为，它只是一个复杂常数，包含时域信号的幅度和相位信息。→ V a = A e j $v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

因此，在这些条件下，我们可以通过跟踪相量电压和电流并使用以下关系来分析电路：

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

然后，我们通过欧拉公式恢复时域解。

现在，相量分析与拉普拉斯分析之间有着深厚的联系，但重要的是要牢记交流分析的全部内容，这又是：

（1）电路具有正弦波源（具有相同的频率）$\omega$

（2）所有瞬变都已衰减

之所以被选择为评估的交流信号是，它允许以转换的拉普拉斯变换成傅立叶变换。$S=j\omega$

原因是，尽管S是一个复杂变量，但傅立叶表示中使用的只是旋转（虚构）分量，因此。$\sigma=0$

您可以在此斯坦福页面上找到更多内容。

拉普拉斯变换传递函数（TF）分析可完整响应t = 0时的正弦输入信号。该解决方案通常包含瞬态项和指数项消失后的稳态项，其中瞬态项以指数形式衰减至零。当我们有TF的极点和零点时，例如s = -a + jw，'-a'部分给出指数响应（e ^ -at），而jw部分给出正弦稳态响应：（e （jwt）= cos（wt）+ jsin（wt）。如果我们只对响应的稳态部分感兴趣（如频率响应分析中的情况），那么我们可以在TF中使用替换s = jw。

请注意，e ^ jx = cos（x）+ jsin（x）是“欧拉身份”，是科学和工程学中最重要和最有用的关系之一。

这仅用于交流信号的“ Sin”和“ Cos”。注意：sin（at）或cos（at）“ 1 / jw + a”或“ jw / jw + a”的拉普拉斯变换可以通过使用Euler的恒等式和sin和cos的恒等式来证明。指数，而指数的laplace仅具有虚部“ jw”。

我将写下证明，并将其张贴在这里。:)

如果看一下傅立叶变换和拉普拉斯变换的公式，您会看到“ s”是傅立叶变换中的“ jw”代替了拉普拉斯变换。这就是为什么您可以通过将“ s”替换为“ jw”来从Laplace变换中获得傅立叶变换的原因。