在什么条件下星网变换是可逆的？

我们都知道并喜欢Δ-Y（delta-wye）和Y-Δ（wye-delta）转换，用于简化三电阻网络：

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Δ-Y和Y-Δ转换具有很好的特性：无论涉及的电阻值如何，总是可以将Δ变成Y，并且可以将Y总是变成Δ。

Y-Δ变换有一个广义版本，称为星网变换。这会将电阻器的“星形”转换为电阻器的“网格” 。 $N$ $^{N}C_{2}$

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维基百科建议恒星到恒星的转换将一直存在-但逆向变换（恒星到星的）可能不存在。以机智：

该变换将N个电阻替换为电阻。对于N> 3，结果是电阻器数量增加，因此，在没有其他约束的情况下，变换没有通用的逆函数。 $^{N}C_{2}$

为了使逆存在，必须满足哪些约束？

我对将4节点网状网络转换为4电阻星形网络特别感兴趣。

问题的动机：我有一个工业电源系统模型（实际上只是一个包含2,000个节点的非常大的恒压源和阻抗网络）。我正在尝试将其减少到仅四个感兴趣的节点。

编辑：

关于此主题有一些已发表的论文。

L. Versfeld，“有关电网的网状转换的评论”，《电子通讯》，第6卷，第19期，第597,599页，1970年9月17日

研究了众所周知的星形-网格转换的两个新方面：（a）将给定的通用网格网络转换为等效星形网络的必要条件和充分条件；（b）对包含来源的网络的扩展。
Bapeswara Rao，VV；Vat Aatre，“网状星型转换”，《电子通讯》，第10卷，第6期，第73,74页，1974年3月21日

如果给定的网格网络满足惠斯通相关性，则存在一个等效的星形网络。利用这一事实，表明了这种网格网络的基准节点导纳矩阵的所有对角辅因子都相等。根据该特性，得出两个网络的元素之间的简单关系。

我没有IEEE Xplore访问权限，所以我看不懂它们。

circuit-analysis

— 叶立昂
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@ user26129：这个问题与EE.SE已经获得大量解决方案的电路分析问题相同。唯一不寻常的部分是它不是本科课程，而是一个普遍的问题，而不是教科书中的特定练习。

— 叶立昂

@ Li-aungYip：我并不反对将您的问题放在EE.SE中的有效性，但是我相信您会在其他地方得到更多更好的答复。我正在尝试帮助您获得答案，而不是试图让您的问题

— 不满意

@ user26129：啊！无论如何，所需的答案都在链接的《电子信函》论文中-我正试图获得它们的副本，以便我可以阅读它们并在此处张贴相关的部分作为答案。

— 叶立昂2013年

@李aungYip好，如果这是你所需要的... efficientelectronics.nl/04245011.pdf

— user36129

在给定星形网电阻器的情况下，我并没有真正了解如何计算网状网中的各种电阻，但是由于电阻器的数量增加了，因此您要寻找的其他约束应该是任意的。解决逆变换的方程导致方程组的变量比方程组多，因此您只需选择一些电阻，然后计算其他电阻即可。

— 弗拉基米尔·克拉韦罗（Fladimir Cravero）

$N_b$ $N_b=N_e-N_v$ $N_e$ $N_v$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$ $G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$ $G_{XY}\ne0$ $\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$ $\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ $\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ $G_{TOT}$ $G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$ $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$ $\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$

我想所有这些都意味着条件也是充分条件。

— MatteoDL
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G_{A B} G_{C D} = G_{A C} G_{B D} = G_{A D} G_{B C}

$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

这是在说（无论是否成立）存在一种以上的方法，将值分配给五个电阻器的星形网络，使得根据所有外部“黑箱”电阻测量结果，所有配置都无法区分。

网格转换在这里是红色鲱鱼。如果星形网络是唯一确定的，那么从该网络到任何其他类型（再回到该网络）的映射当然都将是相反的。

— 卡兹
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