RMS电压乘以RMS电流得出平均功率的数学证明

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我知道这是真的，因为我是在信誉良好的来源中阅读它的。我还直观地理解，对于电阻负载，功率与电压或电流的平方成正比，而RMS中的“ S”是“平方”。我正在寻找一个严格的数学证明。

令表示在时刻的电流，同样，表示在该时刻的电压。如果我们可以在所有瞬间测量电压和电流，并且存在瞬间，则平均视在功率为： $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{一世}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

什么是优雅的数学证明，

P = {一世}_{[R 中号 小号} V_{[R 中号 小号}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

阻性负载达到相同的结果？

power math rms

— 菲尔·弗罗斯特
source

如果我没记错的话，应该有一个证明，说明RMS在感兴趣的持续时间内如何最接近信号的实际值。使用它，我们可能会证明。不幸的是，我似乎丢失了有证明的书。:(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo 2014年

RMS电流乘以RMS电压不等于平均功率。它等于（平均）视在功率。如果您有非阻性负载，则可以有所作为。

— 某处支持莫妮卡

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欧姆定律

1个 ： V （ Ť ） = 一世 （ Ť ） [R

$1: V(t) = I(t)R$

瞬时功耗是电压和电流乘积

2 ： P （ Ť ） = V （ Ť ） 一世 （ Ť ）

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

将1替换为2，以通过电阻器获得电压或电流的瞬时功率：

3 ： P （ Ť ） = {一世}^{2} （ Ť ） [R = \frac{V^{2} （ Ť ）}{[R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

从定义上讲，平均功率是一个时间段内瞬时功率的整数除以该时间段。将3代入该值以得到电压和电流的平均功率。

4 ： P_{一种 v G} = \frac{\int_{0}^{Ť} P （ Ť ） d Ť}{Ť} = \frac{[R \int_{0}^{Ť} {一世}^{2} （ Ť ） d Ť}{Ť} = \frac{\int_{0}^{Ť} V^{2} （ Ť ） d Ť}{[R Ť}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

RMS定义当前广场两侧乘以R以找到平均功率等式4 RMS电压定义对边均方除以R以找到平均功率为等式4 将表达式7和10乘以平均功率两侧的平方根

5 ： {一世}_{[R 中号 小号} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{Ť} {一世}^{2} （ Ť ） d Ť}{Ť}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 ： {一世}_{[R 中号 小号}^{2} = \frac{\int_{0}^{Ť} {一世}^{2} （ Ť ） d Ť}{Ť}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 ： {一世}_{[R 中号 小号}^{2} [R = \frac{[R \int_{0}^{Ť} {一世}^{2} （ Ť ） d Ť}{Ť} = P_{一种 v G}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 ： V_{[R 中号 小号} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{Ť} V^{2} （ Ť ） d Ť}{Ť}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 ： V_{[R 中号 小号}^{2} = \frac{\int_{0}^{Ť} V^{2} （ Ť ） d Ť}{Ť}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 ： \frac{V_{[R 中号 小号}^{2}}{[R} = \frac{\int_{0}^{Ť} V^{2} （ Ť ） d Ť}{[R Ť} = P_{一种 v G}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{a v g}^{2} = V_{R M S}^{2} I_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{a v g} = V_{R M S} I_{R M 小号}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— 斯蒂芬·科林斯
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非常简单的证明（在问题的离散采样情况下）是用RMS方程中的E / R替换I

X_{[R 米 s} = \sqrt{\frac{1个}{ñ} （ X_{1个}^{2} + X_{2}^{2} + X + \dots + X_{ñ}^{2} ）} 。

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

和非常简单的代数

是的，这是正确的，因为它指定我们具有纯电阻性负载，因此不存在相角问题，并且在I中不存在在E中也不存在的谐波。

编辑

离散点的RMS定义（来自维基百科）：

X_{[R 米 s} = \sqrt{\frac{1个}{ñ} （ X_{1个}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{ñ}^{2} ）}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

所以

V_{[R 中号 小号} = \sqrt{\frac{1个}{ñ} （ V_{1个}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{ñ}^{2} ）}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

并且

{一世}_{[R 中号 小号} = \sqrt{\frac{1个}{ñ} （ {一世}_{1个}^{2} + {一世}_{2}^{2} + \dots + {一世}_{ñ}^{2} ）}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

根据欧姆定律替代：

{一世}_{一世} = V_{一世} / [R

$I_i = V_i/R$

{一世}_{[R 中号 小号} = \sqrt{\frac{1个}{ñ} （ （ V_{1个} / [R ）^{2} + （ V_{2} / [R ）^{2} + \dots + （ V_{ñ} / [R ）^{2} ）}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

然后：

{一世}_{[R 中号 小号} = \sqrt{\frac{1个}{ñ} （ V_{1个}^{2} / {[R}^{2} + V_{2}^{2} / {[R}^{2} + \dots + V_{ñ}^{2} / {[R}^{2} ）}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

拉出1 / R ^ 2

{一世}_{[R 中号 小号} = \frac{1个}{[R} \sqrt{\frac{1个}{ñ} （ V_{1个}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{ñ}^{2} ）}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

所以：

为：

V_{[R 中号 小号} * {一世}_{[R 中号 小号}

$V_{RMS} * I_{RMS}$

1个 / [R （ \frac{1个}{ñ} （ V_{1个}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{ñ}^{2} ） ）

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

分配1 / R：

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

再次使用欧姆定律替代：

(\frac{1}{n} (V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} + \dots + V_{n} I_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

这是：

\frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{一世}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— 乔治·怀特
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如果代数很简单，您能告诉我们吗？您可以使用LaTeX标记排版数学。

— Phil Frost

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感谢您的鼓励。自1983

— 乔治·怀特

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关键是对于阻性负载，电压和电流同相。

$\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

$1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

$\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

因此，为了回答这个问题，均方根值（RMS）电压和电流是根据平均功率定义的：每个均方根值均取自平均功率的平方根。 从平均功率的平方根获得的两个值相乘，即可得到平均功率。

— 卡兹
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我认为斯蒂芬·科林的答案是最好的。它不依赖于波形的细节，并且涵盖了连续情况。同样，“均方根电压或电流是随时间产生相同功率耗散的直流等效电压和电流”似乎通过假设答案然后绕圈获得答案来回答这个问题。

— 乔治·怀特

-2

让我们不用数学就可以简化这个问题。以这个简单的电路为例，它会产生一个周期为10秒的方波。

在此处输入图片说明

电压是这样的

在此处输入图片说明

现在是

在此处输入图片说明

然后功率波形将是

在此处输入图片说明

当开关断开时，没有功率传递到电阻器，因此总能量为10瓦X 5秒= 50焦耳，这与我们在10秒钟内施加5瓦相同在此处输入图片说明

这是平均功率。平均电压为5伏，平均电流为0.5安培。做简单的计算，平均功率结果为2.5瓦或25焦耳，这是不正确的。

因此，让我们使用此命令来制作此技巧：

第一个平方电压（和电流）
第二取平方的平均值
然后取平均值的平方根

电压波形的平方为

在此处输入图片说明

平均为50V ^ 2（不是50 ^ 2伏）。从这一点上，忘记波形。仅值。上述值的平方根为7,071…伏特RMS。对电流进行相同操作将得到0,7071..A RMS，平均功率为7,071V x 0,7071A = 5瓦

如果您尝试使用RMS功率执行相同的操作，则结果将是平均7,071Watt。

因此，唯一的等效加热功率是平均功率，唯一的计算方法是使用电压和电流的均方根值

— GR Tech
source

我们不能将电阻器中耗散的平均功率计算为瞬时功率的平均值吗？OP要求的数学证明在哪里？

— Joe Hass 2014年

对于偏离路线的一些复杂波形，我们必须使用接近零的时间间隔对它们进行积分以获得精确的平均值。我完全避免使用任何数学运算，这就是为什么我使用方波的原因，这很容易看出平均值的含义。RMS也是平均值。

— GR Tech

在我看来，您表明实际平均功率为5瓦，并且RMS V * RMS I = 5瓦，在这种情况下表明OP是正确的。您还可以看到，在这种情况下，平均V *平均I = 2.5瓦。

— 乔治·怀特

好的，我明白了。语言问题再次出现。我试图说的是，计算Vavg x Iavg不正确。谢谢您阻止我！

— GR Tech

如果“ RMS也是一个平均值”，那么为什么电源线电压的RMS值不像平均值一样等于0.0V？

— Joe Hass 2014年