确定具有变化惯性矩的梁的刚度

我需要计算在其长度上具有变化的梁的或等效刚度。作为或长度的函数，被赋予了我。 $K$ $I$ $I$ $x$

我无法找到一个适当的方程式或一组方程式来描述如何获得这种情况的我已经找到了横跨梁长度的常数值的方程。是否有一个我根本不知道的等式，或者为变量值导出一般程序？ $K$ $I$ $K$ $I$

beam

— 雅各布诺曼
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您可以将变量插入到旋转和偏转的积分方程中。 $I(x)$

首先确定你的模型。然后确定矩的方程。然后在旋转方程中输入它。 $M(x)$

旋转： $\theta = \int \frac{M(x)}{E*I(x)}dx$

求解这个方程（或者让wolfram alpha为你做），添加相关的边界条件（如用于夹紧梁）然后求解 $\theta(0) = 0$

偏转： $\nu = \int \theta dx$

并添加相关的边界条件。

祝好运！

— 乔斯
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简短的回答是你不能。

您可以稍微更长的答案，但解决方案特定于采用的横截面。

更长的答案现在将通过一个例子证明为什么会出现这种情况。在这个例子中，我们将采用跨度为的简单悬臂梁（固定在）。梁将具有可变刚度，因为它是简单的矩形横截面，其高度从固定端的到自由端的（线性地）变化。施加的载荷将是自由端的简单集中载荷自由端的偏转是多少？ $x=0$ $L$ $E \cdot I(x)$ $h_0$ $h_1$ $P$

正如@jos在答案中已经提到的，我们使用梁方程。

这是一个等静压梁，因此可以简单地获得弯矩方程

M = P (L - x)

$M = P(L-x)$

然后必须将其除以梁的刚度，并且必须对结果进行积分以获得梁的切线。

θ = \int_{0}^{L} \frac{P (L - x)}{E \cdot I (x)} d x

$\theta = \int\limits_0^L\frac{P(L-x)}{E \cdot I(x)}\text{d}x$

在这里，我们已经可以看到问题。在普通光束中，我们可以从积分中移除并继续我们的快乐方式。然而，在这里，也需要集成。 $EI$ $I(x)$

那么，的等式是什么？在这种情况下，它将是 $I(x)$

I (x) = \frac{b \cdot h (x)^{3}}{12} = \frac{b \cdot {(h_{0} + (h_{1} - h_{0}) \frac{x}{L})}^{3}}{12} = \frac{b \cdot {(h_{0} + Δ h \frac{x}{L})}^{3}}{12}

$I(x) = \frac{b \cdot h(x)^3}{12} = \frac{b \cdot \left(h_0 + \left(h_1-h_0\right)\dfrac{x}{L}\right)^3}{12} = \frac{b \cdot \left(h_0 + \Delta h\dfrac{x}{L}\right)^3}{12}$

所以现在我们“只是”必须找到。 $\theta$

\begin{matrix} θ = \frac{1}{E} \int \frac{12 P (L - x)}{b \cdot {(h_{0} + Δ h \frac{x}{L})}^{3}} d x \\ θ = \frac{6 P L^{3}}{E b Δ h^{2}} (\frac{- Δ h L + 2 Δ h x + h_{0} L}{(Δ h x + h_{0} L)^{2}} + C_{1}) \end{matrix}

$\begin{gather} \theta = \frac{1}{E}\int\frac{12P(L-x)}{b \cdot \left(h_0 + \Delta h\dfrac{x}{L}\right)^3}\text{d}x \\ \theta = \frac{6PL^3}{Eb\Delta h^2}\left(\frac{-\Delta hL+2\Delta hx+h_0L}{(\Delta hx+h_0L)^2} + C_1\right) \end{gather}$

已经变丑了吧？现在，我们只需要再次集成它来获得偏转。

\begin{matrix} δ = \frac{6 P L^{3}}{E b Δ h^{2}} \int_{0}^{L} (\frac{- Δ h L + 2 Δ h x + h_{0} L}{(Δ h x + h_{0} L)^{2}} + C_{1}) d x \\ δ = \frac{6 P}{E b Δ h^{2}} (\frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h (Δ h x + h_{0} L)} + \frac{2 \ln (Δ h x + h_{0} L)}{Δ h} + C_{1} x + C_{2}) \end{matrix}

$\begin{gather} \delta = \frac{6PL^3}{Eb\Delta h^2}\int\limits_0^L\left(\frac{-\Delta hL+2\Delta hx+h_0L}{(\Delta hx+h_0L)^2} + C_1\right)\text{d}x \\ \delta = \frac{6P}{Eb\Delta h^2}\left(\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta h(\Delta hx+h_0L)}+\dfrac{2\ln(\Delta hx+h_0L)}{\Delta h}+C_1x+C_2\right) \end{gather}$

$C_1$ $C_2$

\begin{matrix} θ (0) = 0 = \frac{- Δ h L + h_{0} L}{(h_{0} L)^{2}} + C_{1} \\ ∴ C_{1} = \frac{Δ h L - h_{0} L}{(h_{0} L)^{2}} \\ δ (0) = 0 = \frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h h_{0} L} + \frac{2 \ln (h_{0} L)}{Δ h} + C_{2} \\ ∴ C_{2} = - \frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h h_{0} L} - \frac{2 \ln (h_{0} L)}{Δ h} \end{matrix}

$\begin{gather} \theta(0) = 0 = \frac{-\Delta hL+h_0L}{(h_0L)^2} + C_1 \\ \therefore C_1 = \frac{\Delta hL-h_0L}{(h_0L)^2} \\ \delta(0) = 0 = \dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta hh_0L}+\dfrac{2\ln(h_0L)}{\Delta h}+C_2 \\ \therefore C_2 = -\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta hh_0L}-\dfrac{2\ln(h_0L)}{\Delta h} \\ \end{gather}$

\begin{aligned} ∴ δ = \frac{6 P}{E b Δ h^{2}} & (\frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h (Δ h x + h_{0} L)} + \frac{2 \ln (Δ h x + h_{0} L)}{Δ h} + \frac{Δ h L - h_{0} L}{(h_{0} L)^{2}} x - \frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h h_{0} L} - \frac{2 \ln (h_{0} L)}{Δ h}) \end{aligned}

$\begin{align} \therefore \delta = \frac{6P}{Eb\Delta h^2}&\left(\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta h(\Delta hx+h_0L)}+\dfrac{2\ln(\Delta hx+h_0L)}{\Delta h}+ \\ \frac{\Delta hL-h_0L}{(h_0L)^2}x-\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta hh_0L}-\dfrac{2\ln(h_0L)}{\Delta h}\right) \end{align}$

你有它。为了检查我的工作，我创建了一个光束，其中，，，，并且，并在末尾应用载荷。 $h_0 = 200\ \text{mm}$ $h_1 = 100\ \text{mm}$ $b = 100\ \text{mm}$ $L = 10\ \text{m}$ $E = 10000\ \text{MPa}$ $P = 1\ \text{kN}$

我通过将光束切割成离散的片段来模拟光束，每个片段具有不同的均匀横截面。为了测试灵敏度，我做了两个模型：一个有十个段，一个有二十个。结果如下：

使用上面得到的等式，我得到81.78毫米，与模型相比误差为1％。鉴于这些是近似值，看起来相当不错。

由此，我们可以明显地获得梁的刚度： $1\ \text{kN}/81.78\ \text{mm} = 12.2\ \text{kN/m}$

那么，既然我们已经完成了这一切，我们还能学到什么？基本上，这真的很难。解决方案并不优雅。这只是关于最微不足道的横截面，事情已经变得混乱。我的意思是，这些是对数，因为大声哭泣。如果截面的高度和宽度都有变化怎么办？如果该部分没有线性变化，而是多项式（或其他）变化怎么办？如果我们处理不对称的I部分，有六个变量变量（，，，，，）？ $t_{f,top}$ $b_{f,top}$ $t_{f,bot}$ $b_{f,bot}$ $t_{w}$ $h_{w}$

这就是为什么在处理可变截面时最常见的解决方案是按照我的方式进行：将光束分成不连续的段，每个段都有不同的插值横截面。一些专业的FEA程序使这很容易，有些甚至内置了可变部分，但我不知道它们是如何实现的。

— 芥末
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