Eurocodes中的桥固有频率估计的推导

欧洲规范给出以下方程式，用于估算“仅受弯的简支桥梁” *：

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

哪里

• $n_0$是赫兹的固有频率
• $\delta_0$是永久作用下中跨的挠度，单位为mm

该方程式似乎是凭空产生的，并且没有解释常数17.75的来源。作为一名工程师，我不愿意使用我不了解的公式，但不仅如此，了解它背后的基本原理将很有帮助，这样我就可以了解是否可以更改该公式以与其他支持条件一起使用。

任何人都可以提供这种关系的派生/基本起源吗？

*如果有帮助，请参考：EN 1991-2：2003 6.4.4 [注8]（公式6.3）。

如果我们将整个桥简化为具有恒定截面尺寸，没有内部阻尼并且仅受到很小的垂直挠曲的2D细梁，则固有频率由简单的谐波运动确定：

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

其中是固有频率，是恢复力与挠度之比（等效“弹簧刚度”），是梁每单位长度的质量。 ķ $n_0$$k$$m$

在梁中，恢复力是由偏斜形状引起的内部剪切。如由光束呈现的力正比于剪切的变化率，这是关系到刚度（）和力矩的变化率可以示出（注意：偏转正比于梁的长度）：$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

其中是梁材料的杨氏模量，是梁截面的惯性矩，是梁的长度，是由支撑条件和响应的模数确定的常数。我大号$E$$I$$L$$\alpha$

我所看到的所有文献都以对频率方程更为方便的方式表达了这一点：

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

换回

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

计算的值非常繁琐，有一种简单的解决方案可提供精确的方法，包括自由能法和Raleigh Ritz在内的近似方法。在这里可以找到简单支撑梁的一些偏差。$K$

应该注意的是，这个方程就足够了，但是由于它需要一个表，并且需要计算代表桥梁为均质梁的值，因此Eurocode的作者似乎认为这会更好重新整合沿光束恒定的假设。Ë 我$K$$EI$$k$

为此，他们使用以下关系：

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

其中是最大挠度，是由支撑条件决定的常数，是在梁的整个长度上均匀分布的恒定载荷。 Ç $\delta_0$$C$$w$

在自重下，其中是重力引起的加速度（9810 mm / s ²；该方程式中的偏差以mm给出）。$w = gm$$g$

因此（重新安排：）

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

所以：

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

和通用值可以在结构表中找到-例如分别在here和here。$K$$C$

对于简单支撑的梁：

15.764ķ

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ n0= $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

这是一个可能的答案。

我找到了这份文件（不确定确切的来源），其中包含一个相关的派生词：

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

在Ladislav Fryba的书“铁路桥的动力学”（1996年）中对此有更多信息。如果您阅读了第4章，则会在第92页上看到公式4.53：

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

该方程式基于由均布载荷μg加载的简单支撑梁的中跨挠度公式

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

被替换为

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

使用g = 9.81 m / s ^ 2将这些方程式相互替换，得出

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

该方程的数值评估得出所需的方程。

对于像我这样的工程师而言，通常关注静力学的动力学会充满容易出错和误解的地方。该公式对于简单支撑的梁非常有用，因为它可以迅速地与所施加的自重载荷和一定比例的活动载荷（通常为10％）相关联，而不必复杂化。

悬臂梁也可以使用类似的常数（ud​​l为19.8，终点载荷为15.8）。一切都以连续的梁和框架分解。

我对所有波束设计进行固有频率检查，以对其进行跟踪。对于木结构，例如8Hz是目标，对于混凝土地板/钢框架，则是4-6Hz-作为第一遍。

也有粗略而现成的方法来评估周围的动态响应。我不得不说，动态仍然使我迷惑和困惑，而且永远会！所以我尽量保持简单。