灰尘从空气中沉降需要多长时间？

为了使这个问题易于处理，让我们进行一些简化。

灰尘颗粒可以很好地描述为半径和密度均匀球体。 $R$ $\rho$
该空间是封闭的，没有大流量，也就是说，空气仍然是宏观的。
空气处于标准温度和压力（STP）；和。 $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

在这些条件下，粉尘颗粒的沉降时间是多少？空气的布朗运动在什么大小/密度下变得重要？

fluid-mechanics air-quality

— 克里斯·穆勒
source

Answers:

固体颗粒在空气中的沉降时间主要取决于颗粒的大小。根据您所讨论的大小范围，不同的作用力会变得很重要，因此很难给出既简洁又准确的答案。

我会尽力综合重点，而不是模仿参考。也就是说，在空气质量领域的实际应用方面，我推荐的文字是Cooper＆Alley的《空气污染控制》。特别是，我将在第3.3节：流体中的颗粒行为中为该答案提供许多细节。

引力沉降概述

灰尘的行为不像伽利略的滚球。不同大小的小颗粒以不同的速度下落。对于固体颗粒，沉降速度的变化主要是由于拖曳力的影响。

您可能希望布朗运动会“杂耍”周围的小颗粒，使它们无法沉降。足够小的尘埃颗粒可以无限期地夹带，但实际上，这与空气永不完全静止有关，而与布朗运动无关。在空气质量的背景下，我们主要在考虑布朗运动（例如，在PM湿式洗涤器中的水滴上）或沉积（例如，在道路附近的树叶上）时关注布朗运动。这些机制均与纯重力沉降无关。

实际上，当固体粒子变得足够小以开始考虑离散的空气分子的运动时，我们发现它的沉降实际上比斯托克斯定律所暗示的要快一些。这是当我们应用实验确定的坎宁安滑移校正因子来减少斯托克斯阻力系数时。空气中的校正因子与粒径和平均自由程为： $d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2.0 \frac{λ}{d_{p}} [1.257 + 0.40 \exp (- 0.55 \frac{d_{p}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

至于“足够小”的实际含义，Cooper＆Alley案文说：

对于小于1微米的颗粒，滑移校正因子始终很显着，但是随着粒度增加到5微米以上，其滑移校正因子迅速接近1.0。

当您所关心的只是相对较大的粒子时，这可能足以节省您计算校正因子所需的时间或处理周期。

运动方程

我们可以如下得出一维运动方程。

根据流体中的相对速度将牛顿第二定律应用于粒子。* $m_{p} v_{r}^{'} = F_{g} - F_{B} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
斯托克斯定律根据流体的粘度以及颗粒的速度和直径给出了阻力。浮力等于排出的流体的重量。 $m_{p} v_{r}^{'} = m_{p} g - m_{a i r} g - 3 π μ d v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
除以粒子的质量。 $v_{r}^{'} = g - \frac{m_{a i r}}{m_{p}} g - \frac{3 π μ d}{m_{p}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
将质量表示为体积和密度的乘积，其中颗粒的体积和置换空气的体积相同。 $v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{p} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
使用，简化阻力项并将其移到左侧。 $V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{p} d^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

这是具有已知系数（在STP时）的线性ODE，它表示沉降粒子的以下特征时间：

τ = \frac{ρ_{p} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

特征时间是比较分散在流体中的不同颗粒系统行为的有用参数，类似于雷诺数如何用于识别不同系统何时具有相似流动状态的相似方法。应用坎宁安滑移校正因子可得出滑移校正时间以及在下一节中将要使用的运动方程： $\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{*本例中的坐标系定义为下降速度为正。}

终端速度

对于掉在空气中的固体颗粒，接近于零。在此假设下，在运动方程中设置得出粒子的最终沉降速度： $\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} g

$v_t = \tau' g$

使用该最终速度，运动方程的解可以表示为：

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - e^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

到时间，粒子已经达到其最终速度的98％。如果您计算灰尘颗粒的特征时间，您会发现这仅花费了几分之一秒的时间；灰尘颗粒的沉降时间大部分以最终速度下降。速度本身随粒径的变化而显着变化，但细颗粒沉降几米可能需要数小时到数天不等。 $t = 4 \tau'$

更大的灰尘

对于较小的灰尘来说，这一切都很好，但对于您来说，进入眼睛并引起咳嗽的较大物质呢？好吧，库珀与胡同的坏消息是：

对于大于10–20微米的粒子，以其最终速度沉降，雷诺数太高，以至于Stokes态分析无效。对于这些较大的颗粒，需要经验手段才能获得沉降速度。

“经验均值”是一种很好的表达方式，您可以自己弄清楚，或者习惯于阅读以丑陋的十进制指数拟合拟合曲线的图表，从而得出先前的实验结果。

— 空气
source

对于单个粒子，可以使用斯托克斯定律：其中是空气的动态粘度，易于计算。使用斯托克斯定律假设您知道尘埃粒子的初始高度，并且可能不适用于大量粒子，因为每个粒子可能始于完全不同的位置-换句话说，它不是大型粒子系统的模型。

v_{terminal} = \frac{2 g R^{2} (ρ_{particle} - ρ_{air})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

我发现了半衰期中不同半径的粒子的一些更准确的数据。这里的数据略多。

此处给出了煤，铁和水泥的沉降时间图，进一步说明了粉尘半径与沉降时间之间的非线性，反指数关系。

沉降理论在这里应用于太阳星云。我不确定在这里可以应用多少公式，但是有些可能有用。

t = \frac{ρ_{dust}}{ρ_{air}} \frac{R}{v_{thermal}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$ ，其中将条件设置为STP，尽管应用领域大不相同，但您可能会得到更好的答案！

v_{thermal} = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π μ m_{particle}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
source

您从“针对单个粒子...”开始。这个想法是否也适用于浓密的微粒雾？

— Trilarion

@Trilarion是的，但是您必须为每个计算不同的计算。

— HDE 226868 2015年

@Air Whoops，修正了数学问题。我对高度的意思是，仅了解终端速度将无法让您计算稳定时间。您需要知道初始条件。

— HDE 226868

真正。那些星云幻灯片真的很有趣。它们带来了“均匀球体”方法的另一个局限性，即亚微米颗粒往往会相互结合形成更大的亚微米颗粒和细颗粒。其中一些也具有反应性，或由空气中的前体形成。许多复杂性，以及大量正在进行的研究领域。

— 航空

@Air鉴于我对天体物理学的热爱以及对特定区域（碎片盘）的研究，在研究与众不同的空气质量时学到新知识真是令人惊讶。

— HDE 226868