通常如何在雷诺数计算中确定特征长度？

据我所知，雷诺数由以下表达式给出$Re=\frac{\rho v L}{\mu}$，其中$\rho$是密度，$v$是流体速度，$\mu$是动态粘度。对于任何给定的流体动力学问题，都将琐碎地给出$\rho$，$v$和$\mu$。但是特征长度到底是$L$多少？我如何精确计算？如何根据给定的问题自动确定特征长度？

我想从数学的角度来解决这个问题，正如一些评论和回答中所讨论的那样，这可能是富有成果的。给定的答案很有用，但是我想补充一下：

1. 通常，最小的可用长度刻度是特征长度刻度。
2. 有时（例如，在动态系统中）没有固定的长度标尺可供选择作为特征长度标尺。在这种情况下，通常可以找到动态长度标尺。

特征长度尺度：

TL; DWTR：对于， - [R是特征长度尺度; 为 [R /大号» 1，大号是特征长度尺度。这意味着较小的长度标度（通常）是特征长度标度。$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

考虑其他答案中讨论的管道流动情况；管道的半径为，长度为L。通常我们将管径作为特征长度标尺，但情况总是如此吗？好吧，让我们从数学的角度来看这件事。让我们定义的无量纲坐标： ˉ X = $R$$L$

$$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$$

在此，，R，U，V是x - y坐标和速度标尺，但不一定是它们的特征标尺。注意，压力比例的选择P = ρ Ü 2仅适用于ř é » 1。的情况下- [R ë « 1需要重新缩放。$L$$R$$U$$V$$x$$y$$P=\rho U^2$$\mathrm{Re}\gg1$$\mathrm{Re}\ll1$

转化连续性方程来无量纲量：

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$$

只有当我们假设或$\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$。知道这一点，可以重新定义雷诺数：$\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

$$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$$

同样，让我们改造Navier-Stokes方程（ -component只保持短）： ü ＆CenterDot;＆∇ ü = - $x$ ˉ û＆PartialD;＆ ˉ X ˉ Ü + ˉ v＆PartialD;＆ ˉ Ŷ ˉ Ù =-＆PartialD;＆ ˉ X ˉ p +

$$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$$ 我们在这里看到的雷诺数自然发生的缩放过程的一部分。但是，根据几何比R/L，方程可能需要重新定标。考虑以下两种情况： $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$$ $R/L$

• 管半径比管的长度（即小得多）：$R/L\ll1$

  然后将转化的方程如下： 在这里，我们有一个问题，因为这个词

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ 可能非常大，并且正确缩放的方程式的系数仅为O（1）或更小。因此，我们所需要的的重新缩放 ˉ X坐标， ˉ v速度和 ˉ p压力 ：X = ˉ X（$\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$$O(1)$$\bar{x}$$\bar{v}$$\bar{p}$ 这种选择重新缩放量确保能对连续性方程遗体的形式为： ∂ X ˉÜ+∂ ˉ Ŷ v=0 的Navier-Stokes方程中的经重新缩放量产量的术语： ˉù∂ X ˉü+v∂ ˉ ŷ ˉÙ=-∂ X p+ $$\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ $$\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$$ 其适当地与系数缩放Ô（1）或更小，当我们采用的值α=-1 $$\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $O(1)$。这表明压力规模并不需要任何重新缩放但长度和速度尺度已经重新确定 ：X = ˉ X$\alpha=-1,\,\beta=0$ ，我们看到，对于特征长度和速度标尺分别X和v不大号和V如开头假定但ř和ü。 $$\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$$ $x$$v$$L$$V$$R$$U$

• 管半径比管的长度（即大得多）$R/L\gg1$：

  然后将转化的方程如下：

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$$\bar{y}$$\bar{u}$$\bar{p}$ $$\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ $$\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$$ $$\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$$ $O(1)$$\alpha=1\,\beta=-2$ $$\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$$ $x$$v$$p$$R$$U$$\rho U^{2}$$L$$V$$\rho V^{2}$

$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

动态长度刻度：

$$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$$

$D$$t$$L$

这是一个实际的，经验性的问题，而不是可以由数学“解决”的理论性问题。解决这个问题的一种方法是从雷诺数从物理上​​开始：它代表流场中“典型”惯性力与粘性力之间的比率。

因此，您查看典型的流型，并选择最佳的长度测量值来表示该力的比率。

例如，在流经圆形管道时，粘性（剪切）力取决于从管道轴线到壁的速度分布。如果沿管道轴线的速度保持不变，则半径加倍将（大约）使轴线与壁之间的剪切速率减半（速度为零）。因此，半径或直径是特征长度的不错选择。

显然，如果选择半径或直径，则Re会有所不同（相差2倍），因此在实践中，每个人都会做出相同的选择，并且每个人都使用Re的临界值来实现从层流到湍流的过渡。从实用的工程角度来看，管道的尺寸由其直径指定，因为这很容易测量，因此您最好将直径也用于Re。

对于近似圆形的管道，您可以（通过类似的物理参数）确定管道的周长确实是最重要的长度，因此可以通过使用定义为“等效直径”的方法将结果与圆形管道进行比较（周长/ pi）。

另一方面，管子的长度对流体的流动方式没有太大影响，因此对于大多数用途而言，Re的特征长度选择不当。但是，如果您考虑使用长度远远小于直径的非常短的“管道”中的流动，则长度可能是用作描述流动的参数的最佳数字。

有三种主要方法可以确定哪些术语组（比长度或时间范围更笼统）是相关的。首先是数学运算，可能涉及解析性地解决问题或类似或适当的问题，并查看出现了哪些术语并进行选择，以适当地简化事情（在下文中对此进行了详细介绍）。第二种方法或多或少是通过反复试验。第三是先例，通常是在过去有人对这个问题或相关问题进行了前面提到的某种分析时。

有许多方法可以进行理论分析，但工程学中一种有用的方法是对控制方程进行无量纲化。有时，特征长度很明显，就像管道流中的情况一样。但是其他时候，没有明显的特征长度，例如自由剪切流或边界层。在这些情况下，可以将特征长度设为自由变量，然后选择一个可以简化问题的变量。这是有关非量纲化的一些好注意事项，对于发现特征性的时间和长度尺度具有以下建议：

1. （总是）使尽可能多的无量纲常数等于1。
2. （通常）使出现在初始条件或边界条件中的常数等于1。
3. （通常）如果存在一个无量纲常数，如果将其设置为零，则将大大简化问题，使其保持自由状态，然后查看何时可以将其减小。

另一个主要方法是完全解决问题并查看出现哪些术语组。通常，如果您从这种类型的理论分析中获取术语，则相关长度很明显，尽管这种分析通常说起来容易做起来难。

$Re$

同样，一般而言，分析或实验可能会建议另一个数字，例如比奥数字，其中也有一个“特征长度”。在这种情况下的过程与已经提到的过程相同。

有时您可以进行启发式分析以确定相关的长度。在比奥数示例中，此特征长度通常用物体的体积除以物体的表面积来表示，因为这对于传热问题是有意义的。（较大的体积=较慢的热传递至中心，较大的表面积=较快的热传递至中心。）但我想可以从某些近似值中得出。您可以进行类似的论证来证明液压直径。