如何计算在给定材料中构造的圆环的最大尺寸

考虑一个实心圆环，它是一个直径为d的圆盘，圆盘的中心围绕一个直径为d的圆，这样就有一个直径为d的开口中心。该圆环面朝下，以达到最大高度。对于这个问题，如何支持它以使它不会落到任何一方都不是问题。

对于给定的任意材料，如何计算这个实心环面在1g自身重量下坍塌之前的最大尺寸？

出于这个问题的目的，考虑地面是无限的力量。

万有引力会在任何身体内产生应力分布。对于均质和各向同性材料，有两个需要注意的位置：最大拉应力和最大压应力。这是因为大多数材料的性能在受到拉伸与压缩载荷时不同。 （韧性材料在拉伸载荷下可以撕裂，但不能在纯压缩载荷下撕裂;脆性材料通常具有比拉伸强度更高的抗压强度。）

根据连续介质力学，应力仅取决于几何形状，密度和重力加速度。对于静止的身体，动量守恒评估为 $$ \ rho f_i + \ frac {\ partial \ sigma_ {ij}} {\ partial x_j} = 0 $$ 其中$ \ rho $是材料的密度，$ f_i $是内力（$ f_i = -g \ delta_ {i3} $当万有引力是$ g $并且反对负3方向时）和$ \ sigma_ {ij} $是压力。 （我正在使用爱因斯坦求和约定，所以在上面的等式中取$ j $ $ $中的总和。）

我已经对你的问题进行了简单的有限元计算。只是为了确保，这是我计算的几何体（以m为单位的维度）：

注意圆环是不完美的，底部有一个小的平坦区域，我必须引入以保留模拟中的圆环（通过从完美的环面切割1米产生）。这会在底部引入一个小的扰动，但是你需要一个有限的区域来支撑环面，否则底部的应力将变为无限（见下文）。

如其他答案所述，最大压应力位于底部（环面接触地面）。这是由最小主应力给出的，如下图所示：

图为最小主应力的表面分布。请注意，我已将比例缩小到-50 MPa。最大压应力位于底部，计算的最佳方法是（按其他答案给出）按质量除以面积。 （这就是你需要一个有限区域来支撑环面的原因。）

如果支撑区域很大，也可以在内径处实现最大压缩应力。所示几何形状的最大压缩应力为32MPa。

最大拉应力位于内圆的最低点。这由最大主应力给出，如下图所示：

对于这种几何形状，最大拉应力计算为约。 28兆帕。用于计算的密度为2.41克/立方厘米（混凝土）。模拟中的重力加速度为9.81 m /s²。物体的总质量为11.9e + 9 kg（1190万公吨），体积为4.93e +6m³。

对于许多材料，底部的压缩应力很可能是限制设计因素。然而，对于极脆的材料，拉伸应力可能是极限。例如。使用混凝土时，您需要在有拉应力的区域添加钢材。

现在这仍然没有真正回答你的问题，因为你已经要求任意材料。正如其他人所指出的那样，应力随着几何形状和密度而变化，即加倍尺寸或加倍密度使最大应力加倍。现在你有了计算应力所需的一切。评估最大尺寸比较应力与强度。

PS：在实际建设之前，考虑一下安全因素。

PPS：如果您仔细考虑一下，这种压力分布也非常直观。

编辑： 我刚刚更新了密度 - 我的数字略有错误。

此外，对于延性材料，这仍然不是完整的答案，因为您可以允许材料在某些区域屈服。然后材料将在这些区域塑性变形。只要非屈服结构仍能承载所有载荷，这都很好。这种方法可以正式化。德语中的相关术语是'plastischeStützzahl'，其翻译为'塑料支持号码'，但我不知道正确的英语翻译。

总之，材料的屈服极限不一定是最终极限，具体取决于您的材料。但它肯定是一个很好的初步估计。

我认为没有这样的限制。想到的唯一可能因素是圆环底部的压力。

如果你暂时认为结构是无限刚性的，那么环面与地面的接触区域将等于一个无穷小的点，导致环面（及其下方的地面）的无限应力。如果你考虑变形，那么圆环将不再是一个完美的环面，因为它会在脚部变形以覆盖一个区域，使得应力低于材料的屈服强度。

假设一种完美的弹塑性材料，这基本上允许环面尽可能多地变形，因此它也没有限制。假设任何其他应力 - 应变关系，那么通常几乎不可能回答。

圆环内的内力不要太担心我。观察环面的顶部跨度，肯定会有弯曲，但是最大弯矩将是跨度的平方的函数，您已将其定义为等于直径的两倍（考虑到跨度等于环面不同侧面的中心点之间的距离）。然而，弯曲受到横截面的第二力矩区域的抵抗，该力矩是直径的四次幂的函数。这意味着如果你的直径增加一倍，你的弯矩会翻两倍（4x），但你的第二个时刻会增加十六倍。所以，实际上，你的直径越大，你得到的坍塌距离越远。这甚至没有考虑到环面的拱形行为，这将大大减少您的弯矩并将其转换为压缩力。然后人们可以提出屈曲的可能性，但考虑到这个圆环的非细长，这也不会成为一个问题。

圆环的下半部分类似地工作：由于与上述相同的原因，弯曲力矩不应该是非常重要的。在这种情况下，拱形行为实际上将产生拉力，但是这些将由于环面自身重量的压缩力而克服。

所以我看不出哪里可以找到给定材料的最大尺寸。事实上，你需要担心的材料不是圆环，而是地面。你可以用你想要的任何材料制作圆环，但是如果你把它放在弱粘土上，它就会被吞噬掉。如果你制作一个死星大小的圆环并把它放在石头上，它可能会碾碎石头并被吞噬。

由特定材料制成的物体的尺寸有限制。

原因很简单，对于任意形状，（假设所有材料属性保持不变），其体积（以及因此质量）随着比例因子的立方增加，但它在任何点的横截面都随着正方形而增加。

因此，如果考虑边长1m和质量1kg（体积1m ^ 3和横截面积1）的立方体，立方体底部的压缩应力是其重量除以基础面积即10N / 1m ^ 2 = 10Pa

然而，如果你的侧面长度加倍，现在我们的体积为8立方公尺，基础面积为4平方公尺，因此新应力为80/4 = 20Pa

再加倍（侧面= 4米）体积= 64立方公尺质量= 64公斤重量= 640N基面积= 16平方公尺

因此基数= 640/16 = 40Pa时的应力

因此......由于物体自身重量引起的应力与比例因子成正比，因此您达到的比例大于材料的屈服应力。

非常简单地说，物体的重量随着其尺度的立方增加而且其横截面仅随着正方形而增加。

因此，您可以根据任何给定材料制作的最大尺寸对象由屈服应力决定。这是目前无法建造“太空电梯”的根本原因。

在实际计算圆环的最大尺寸方面，最简单的方法是使用FEA软件。对单位半径的圆环建模应该很容易，如果你发现最大应力是UTS的一小部分，它应该是一个简单的推断。事实上，许多CAD软件包将允许您创建一个参数模型，您可以将其链接到电子表格，以获得任何比例和材料属性的通用解决方案。