球撞到角落，它将在哪里偏转？

我需要复习三角函数，希望您可以通过简单的数学模型为您提供帮助。到目前为止，这是我在模型中附加的模型。我知道当球快速移动时帧动画还有其他问题，但是现在我只需要计算ballDx和ballDy。ballDx = 0（仅垂直运动）也是可能的，但是当球偏斜时，ballDx可能会获得不同的值。

注意：以下所有条件均假设球的表面无摩擦（因此不会开始旋转或反弹，因为它确实如此）。

碰撞时，球将碰到角球。当固体物体碰撞时，力将沿着所谓的表面法线（即垂直于碰撞点处的表面）作用。

由于它是球，因此垂直于表面的方向是球的中心。好的，所以我们知道了力的方向，力的大小呢？假设发生弹性碰撞（并且矩形不能移动），则球必须以与撞击时相同的速度反弹。

令（nDx，nDy）为碰撞后的速度，（oDx，oDy）为碰撞前的速度，（x，y）为球在碰撞点的位置。让我们进一步假设球碰撞的角在（0,0）。

以公式表示我们的见解，我们有：

(nDx, nDy) = (oDx, oDy) + c * (x, y)
length (nDx, nDy) = length (oDx, oDy)

等效于：

nDx = oDx + c * x
nDy = oDy + c * y
nDx^2 + nDy^2 = oDx^2 + oDy^2

将前两个方程式替换为最后一个方程式，我们得到：

(oDx + c * x)^2 + (oDy + c * y)^2 = oDx^2 + oDy^2

使用二项式定理扩展

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 

产量：

oDx^2 + 2 * oDx * c * x + (c * x) ^ 2 + oDy^2 + 2 * oDy * c * y + (c * y) ^ 2 = oDx^2 + oDy^2
2 * oDx * c * x + 2 * oDy * c * y + (c * x) ^ 2 + (c * y) ^ 2 = 0
(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) * c + (x^2 + y^2) * c^2 = 0

这个二次方程式c有两个解，其中一个为0。显然，这不是我们感兴趣的解，因为通常球的方向会因碰撞而改变。为了获得其他解决方案，我们将双方除以c并得到：

(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) + (x^2 + y^2) * c = 0

那是：

 c = -(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) / (x^2 + y^2)

总而言之，我们有：

c = -(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) / (x^2 + y^2)
nDx = oDx + c * x
nDy = oDy + c * y

编辑：在代码中：

if (collision) {
    float x = ballX - cornerX;
    float y = ballY - cornerY;
    float c = -2 * (ballDx * x + ballDy * y) / (x * x + y * y);
    ballDx = ballDx + c * x;
    ballDy = ballDy + c * y;
}

一些实施注意事项：尽管您可以在模拟步骤之后用球的位置来近似（x，y），但是这种近似会改变偏转角度，因此非常引人注目，因此您的模拟步骤必须非常精细（也许这样球每步移动不超过其直径的1/20）。为了获得更准确的解决方案，您可以计算发生碰撞的时间，并在该时间拆分该模拟步骤，即执行一个局部步骤直到碰撞点，然后执行另一个局部步骤以完成其余步骤。

编辑2：计算影响点

令r为半径，（x0，y0）为位置，（dx，dy）为模拟步骤开始时球的速度。为简单起见，让我们进一步假设所讨论的角位于（0,0）。

我们知道：

(x,y) = (x0, y0) + (dx, dy) * t

我们想要

length(x,y) = r

那是

(x0 + dx * t) ^ 2 + (y0 + dy * t) ^ 2 = r^2
x0^2 + 2 * x0 * dx * t + dx^2 * t^2 + y0^2 + 2 * y0 * dy * t + dy^2 * t^2 = r ^ 2
(dx^2 + dy^2) * t^2 + (2 * x0 * dx + 2 * y0 * dy) * t + (x0^2 + y0^2 - r^2) = 0
\____  _____/         \____________  ___________/       \_______  ________/
     \/                            \/                           \/
     a                             b                            c

那是t中的二次方程。如果有区别

D = b^2 - 4 * a * c

如果为负，则没有解决方案，即，球永远不会撞到当前路线的角落。否则，它的两个解由

t1 = (-b - sqrt(D)) / (2 * a)
t2 = (-b + sqrt(D)) / (2 * a)

我们对碰撞开始的时间感兴趣，这是更早的时间t1。

您的方法将变为：

    // compute a,b,c and D as given above

    if (D >= 0) {
        t = (-b - sqrt(D)) / (2 * a);
        if (0 < t && t <= ts) {
            // collision during this timestep!

            x = x + t * dx;
            y = y + t * dy;
            ts = ts - t;

            // change dx and dy using the deflection formula 
        }
    }

    x = x + ts * dx;
    y = y + ts * dy;

这是解决问题的一种直观方法。

最初的问题集是圆形与矩形（下图中的灰色）。这等效于点与圆角矩形（以黑色显示）。

因此，这是一个多部分的问题。您正在测试点碰撞与4条线（从框的边缘伸出原始圆的半径）和4条圆（在与原始圆半径相同的矩形角处）之间的碰撞。

以原始图像中的粗略速度，该点将命中右下角的圆。您所要做的就是找出您要撞到的角圆上的点，计算该角度并从中反射出来。

我会将其派生作为练习留给读者。

我正在开发游戏，也被困在这里。但是我想这是这样的：

还有另一种观点， 我的问题是我不知道如何快速计算新的dx，dy（对我而言，使用传统数学运算需要太多计算）。

运动学就是选择正确的参考系，因为对于计算最方便。

在这里，我们将首先定义变换T，该变换将我们的轴分解为与球的中心和角之间的线平行（x'）和垂直（y'）的分量。逆变换T *将恢复我们的原始坐标系。

在这个新的参考系中，通过反射（以及物理学的时间和空间对称性），我们得到了接触M的速度变换（一个点冲量），它使x'分量反转而使y'分量不变。用矩阵术语来说，这是对角矩阵，对角线上有-1和1。

那么碰撞后的速度就是：V' = T *。中号。Ť。VO。

的碰撞时吨然后只为溶液（Ť。请）+（X。Ť。VO）（吨）= - [R ，其中X是X轴投影算子和- [R是球的半径。重新排列，我们得到
吨 =（[R - （Ť。景点））/（（X。Ť。VO）（吨））

这具有将所有复杂的数学都埋入严格编写，测试和调试的标准图形库中的明显优势。对于2D和3D情况，此解决方案也相同-只需切换图形库即可。最后，它强调指出，在解决任何物理问题之前，首先应考虑适当的参考系。总是有NIH的诱惑，但是实际上，当可以提供更多简洁的解决方案时，这仅仅是bug的秘诀。