如何计算加速度受限的对象的路径？

例如，假设我有一辆汽车，并且一辆汽车具有特定的最小转弯半径，并且我想将该汽车从a点驾驶到b点，但汽车没有面向b点。如何计算指向b点的路径？能够在b点处指定方向也是很好的（例如，您想开车到车道上然后驶入车库-如果您通过在草坪上行驶而进入车道并没有多大用处并面向侧面:)

指向文档（甚至只是名称）的指针就很好-我根本找不到任何东西。

在我的尝试中，它们在简单的情况下仍然有效，但在诸如b点比最小转弯半径更靠近a点的情况下却失败了。

例如，如何确定与此类似的路径（粗体路径）：

编辑：在我的实际问题中，有一些简单的路径约束，但是我已经有一个可以运行的A *算法，但是它允许事物进行瞬时航向更改，因此看到汽车突然转90°看起来很傻当他们到达一个转折点时，一角钱。

我还没有解决所有的方程式，但是这里有一些视觉效果可以帮助我们解决这个问题。它归结为一些几何：

（通过肯尼的汽车图标）

从任何给定的起点和方向，我们都可以绘制两个具有最小转弯半径的圆-一个在左侧，一个在右侧。这些描述了通往我们道路的最紧要点。

我们可以对任何所需的最终位置和方向执行相同的操作。这些圆圈描述了我们道路的最可能的尽头。

现在，问题减少到找到一条路径，该路径将一个起始圆与一个终止圆连接，并沿切线相接。

（这是假设我们不需要在中间的障碍物上寻路，这在问题中没有提到。暴风城的答案进入了如何使用导航图信息解决这些类型的问题。一旦有了节点序列要通过，我们可以将以下方法应用于计划的每个部分。）

如果为简单起见，我们使用直线，则会得到以下内容：

这给了我们极限的情况。通过这种方法找到路径后，您可以人为地增加一个或两个起点和终点的圆，以获得一条不太直接但更平滑的路径，直到两个圆吻在一起为止。

计算这些路径

让我们找出一个转向的案例-说我们从右转开始我们的道路。

我们右转圆的中心是：

startRightCenter = carStart.position + carStart.right * minRadius

我们称这条路径的直线部分的角度（从x轴正方向测量） pathAngle

如果我们从rightCenter离开转弯圆的点开始绘制矢量（在该点上我们必须面对pathAngle），则该矢量为...

startOffset = minRadius * (-cos(pathAngle), sin(pathAngle))

这意味着我们离开圆的点必须是...

departure = startRightCenter + startOffset

我们重新进入转弯圆的点取决于我们要以左转还是右转为终点：

// To end with a right turn:
reentry = endRightCenter + startOffset

// To end with a left turn: (crossover)
reentry = endLeftCenter - startOffset

现在，如果我们做我们的工作权，连线departure到reentry应该垂直于startOffset：

dot(reentry - departure,  startOffset) = 0

求解该方程式将为我们提供正确的角度。（我在这里使用复数，因为从技术上讲，有两个这样的角度，但是其中一个涉及反向驱动，这通常不是我们想要的）

让我们用右转右转案例代替：

dot(endRightCenter + startOffset - startRightCenter - startOffset, startOffset) = 0
dot(endRightCenter - startRightCenter, startOffset) = 0
pathAngle = atan2(endRightCenter - startRightCenter)

交叉的情况更加复杂-这是我还没有算完所有数学的情况。我暂不发布答案，以防在我确定其余详细信息时对您有用。

编辑：目标在最小转弯半径内

事实证明，即使目的地比我们的最小转弯距离更近，这种方法也经常开箱即用。再入圆中的至少一部分结束于转弯半径之外，只要我们不介意它有点像椒盐脆饼一样，就可以找到一条可行的路径...

如果我们不喜欢这样走的路（或者如果不可行-我没有详尽检查每个案例-可能没有不可能的案例），我们总是可以向前或向后行驶，直到找到合适的道路如上图所示，在开始和结束圆圈之间接吻。

这在很大程度上取决于导航的其余数据模型。就是 您可以使用哪些数据，可以轻松添加哪些数据以及如何使用它们。

从水上交通系统中得出类似的假设，并假设

• 你在游戏循环中
• 你有一个节点路径系统
• 您的汽车表现得像自主物体，利用自己的力量和转向“从内部”控制自己
• 您的汽车不会像在铁轨上一样移动

您可能会遇到以下情况（请原谅我的图片幼稚外观）

（红色正方形是节点，红色线是节点的互连。假设您使用了寻路求解器，使节点1-9驶过；在图中看到的节点4-9想要通过绿线指示的节点通过，到达9号节点的车库；但是，您不想精确地走在绿线处，而是自然地留在右侧车道上并进行平稳的机动）。

每个节点将具有用于各种目的的例如保存半径或多个半径的元数据。其中一个是蓝色圆圈，它为汽车提供了瞄准指引。

在任何情况下，车辆都需要知道接下来的两个节点点 P（next）和P（next + 1）及其位置。当然，汽车也有位置。汽车对准P（下一个）蓝色元数据圆的右侧切线。朝相反方向行驶的汽车也是如此，因此它们不会发生碰撞。瞄准切线意味着汽车可以从任何方向接近圆弧并始终保持正确。这是一个粗略的基本原理，可以通过许多方式加以改进。

需要P（next + 1）来确定距离-当汽车到达P（next）或进入其元数据的某个半径范围内时，它可以根据P（next + 1）的距离来调整转向角。就是 如果距离很近，则转动很多；如果距离很远，则转动很小。显然，还需要其他规则和边缘条件，例如，根据P（next）和P（next + 1）的右切线计算汽车与帮助线之间的距离，并由此进行校正-将留在虚线（上图）和虚线（下图）上的意愿。

无论如何，当汽车经过一个节点时，它会忘记它并开始查看接下来的两个节点。

对你的问题。显然，到达节点7时（在上图中，在下图中被视为节点2），它不能足够转动。

一种可能的解决方案是始终构建一些帮助热线并保持目标，然后让汽车按照其自身的物理设置移动（以指定的速率加速，倒退得更慢，考虑节点元数据的速度限制，以给定或计算的速度刹车G等）。如前所述，在这种情况下，汽车是自主的，自我描述的，自行携带的物体。

有绿色的帮助线1,2,3。当汽车到达洋红色圆圈时，它开始向右转。此时，您已经可以计算出它不会成功（您知道最大转弯速率，可以计算出曲线，并且可以看到它会同时越过帮助线2和3）。完全右转并使其前进（以物理增量为单位），并在到达帮助线3时使其减速（接近-使用阈值，f（与帮助线的距离）等）。当它在帮助线3上时，进入倒车模式，将转向转向完全相反的方向。让它反向直到到达帮助线4（节点1和2之间的连接线-谷歌搜索“线算法的边”）。减速后，再次进入前进行驶模式，转动方向盘。重复直到路畅通无阻-显然这一次多了一次操作就足够了。

这是一般的想法：在游戏循环中，或在检查游戏任务系统时：

• 根据当前的边缘限制和目标检查轿厢位置，速度，角度等，
• 如果尚未达到，请继续执行您的操作（让物理学家移动它；汽车具有rpm和齿轮）。在您的查询系统中插入新的支票，例如发生0.1 s。
• 如果达到，请计算新条件，设置数据并开始。插入一个新的检查以在que系统中发生，例如在0.1 s内完成。
• 完成循环周期-继续，重复一次。

通过为节点和汽车提供足够的数据，将实现运动和连续性。

编辑：并添加：这自然需要进行微调。您的行为模拟可能需要不同的帮助热线，元数据，圆圈等。不过，这将给出一个可能的解决方案的想法。

我最终按照DMGregory的建议进行了工作，并且效果很好。这是一些相关代码（尽管不是独立的），可用于计算两种切线样式。我确定这段代码效率不高，而且在所有情况下都可能不正确，但到目前为止对我来说仍然有效：

bool Circle::outer_tangent_to(const Circle & c2, LineSegment & shared_tangent) const {
    if (this->direction != c2.direction) {
        return false;
    }
    if (this->radius != c2.radius) {
        // how to add it: http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleTangents.html
        // just subtract smaller circle radius from larger circle radius and find path to center
        //  then add back in the rest of the larger circle radius
        throw ApbException("circles with different length radius not supported");
    }

    auto vector_to_c2 = c2.center - this->center;
    glm::vec2 normal_to_c2;
    if (this->direction == Circle::CW) {
        normal_to_c2 = glm::normalize(glm::vec2(-vector_to_c2.y, vector_to_c2.x));
    } else {
        normal_to_c2 = glm::normalize(glm::vec2(vector_to_c2.y, -vector_to_c2.x));
    }

    shared_tangent = LineSegment(this->center + (normal_to_c2 * this->radius),
                                 c2.center + (normal_to_c2 * this->radius));
    return true;
}


bool Circle::inner_tangent_to(const Circle & c2, LineSegment & tangent) const {

    if (this->radius != c2.radius) {
        // http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleTangents.html
        // adding this is non-trivial
        throw ApbException("inner_tangents doesn't support circles with different radiuses");
    }

    if (this->direction == c2.direction) {
        // inner tangents require opposing direction circles
        return false;
    }

    auto vector_to_c2 = c2.center - this->center;
    auto distance_between_circles = glm::length(vector_to_c2);

    if ( distance_between_circles < 2 * this->radius) {
//      throw ApbException("Circles are too close and don't have inner tangents");
        return false;
    } else {
        auto normalized_to_c2 = glm::normalize(vector_to_c2);
        auto distance_to_midpoint = glm::length(vector_to_c2) / 2;
        auto midpoint = this->center + (vector_to_c2 / 2.0f);

        // if hypotenuse is oo then cos_angle = 0 and angle = 90˚
        // if hypotenuse is radius then cos_angle = r/r = 1 and angle = 0
        auto cos_angle = radius / distance_to_midpoint;
        auto angle = acosf(cos_angle);

        // now find the angle between the circles
        auto midpoint_angle = glm::orientedAngle(glm::vec2(1, 0), normalized_to_c2);

        glm::vec2 p1;
        if (this->direction == Circle::CW) {
            p1 = this->center + (glm::vec2{cos(midpoint_angle + angle), sin(midpoint_angle + angle)} * this->radius);
        } else {
            p1 = this->center + (glm::vec2{cos(midpoint_angle - angle), sin(midpoint_angle - angle)} * this->radius);
        }

        auto tangent_to_midpoint = midpoint - p1;
        auto p2 = p1 + (2.0f * tangent_to_midpoint);
        tangent = {p1, p2};

        return true;
    }
};

这是上面运行中的代码的两部影片：

这是“外部”路径：http: //youtube.com/watch?v=99e5Wm8OKb0，这是“交叉”路径：http: //youtube.com/watch?v=iEMt8mBheZU

如果此代码有帮助，但是您对此处未显示的某些部分有疑问，请发表评论，我应该在一两天内看到它。