如何围绕3D中的任意点（而不是原点）旋转？

我有一些模型，我希望使用四元数以正常方式旋转，除了希望绕原点旋转以外，我希望它稍微偏移一些。我知道您并不是说在3D空间中绕点旋转。你说你绕轴旋转。因此，我将其可视化为围绕尾部不在本地原点的向量旋转。

我的渲染/物理引擎中的所有仿射变换都使用SQT（比例尺，四元数，平移；从Game Engine Architecture一书中借来的一个想法）存储。因此，我从这些组件中构建每个帧的矩阵，并将其传递给顶点着色器。在此系统中，先平移，然后缩放，然后旋转。

在一种特定情况下，我需要在世界空间中平移对象，对其进行缩放并围绕不以该对象的本地原点为中心的顶点旋转它。

问题：考虑到上述当前系统的限制，如何实现围绕原点以外的点进行局部旋转？自动支持任何可以仅使用矩阵描述如何执行此操作的人:)

简而言之

您只需要在SQT表单中更改T。

更换平移向量v与v' = v-invscale(p-invrotate(p))地方v是初始平移矢量，p大约要发生旋转的点，invrotate并且invscale是你的旋转和缩放的逆。

快速示范

让它p成为应用旋转的点r。让s是你的缩放参数和v您的翻译载体。最后的矩阵变换是T(p)R(r)T(-p)S(s)T(v)不是R(r)S(s)T(v)。

你需要的是新的转换参数v'，r'并s'使得最终矩阵变换是R(r')S(s')T(v')，我们有：

T(p)R(r)T(-p)S(s)T(v) = R(r')S(s')T(v')

无穷大的行为表示旋转参数和缩放参数不能更改（可以证明）。因此r = r'，我们有和s = s'。因此v'，唯一缺少的参数是，新的翻译向量：

T(p)R(r)T(-p)S(s)T(v) = R(r)S(s)T(v')

如果这些矩阵相等，则它们的逆相等：

T(-v)S(-s)T(p)R(-r)T(-p) = T(-v')S(-s)R(-r)

对于原产地尤其如此O：

T(-v)S(-s)T(p)R(-r)T(-p)O = T(-v')S(-s)R(-r)O

缩放并旋转原点可得出原点，从而得到：

T(-v)S(-s)T(p)R(-r)(-p) = -v'

v'是您正在寻找的新翻译向量，可用于以SQT格式存储转换。可能可以简化计算。但至少不增加所需的存储空间。

用于导出旋转矩阵的所有规范旋转公式都用于绕原点旋转。如果要改为围绕特定点应用该旋转，则必须首先偏移原点-或等效地移动对象，以便要围绕其旋转的点位于原点。

首先考虑2D情况，因为它更简单且技术可扩展。如果您有一个以原点为中心的宽度为2的立方体，并且想要将其绕其原点旋转45度，则这将是2D旋转矩阵的简单应用。

但是，如果您想绕它的右上角（位于1,1）旋转它，则首先必须对其进行平移，以使该角位于原点。可以通过翻译来完成-1,-1。然后，您可以像以前一样旋转对象，但是您必须通过将其平移回（by 1,1）来进行后续操作。因此，通常来说，要获得大约点R旋转的旋转矩阵，请执行以下操作：rP

R = translate(-P) * rotate(r) * translate(P)

其中translate和rotate是分别为标准平移/旋转矩阵。碰巧的是，这只是微不足道地缩放到3D，除了必须同时为旋转提供轴外，您还可以始终选择标准的X，Y或Z轴旋转矩阵，但这很乏味。您将要使用任意的轴角旋转矩阵。因此，您R在3D中的最终成绩是：

R = translate(-P) * rotate(a,r) * translate(P)

其中a是代表旋转轴的单位向量，P现在是模型空间中代表旋转点的3D点。

碰巧，四元数可以被转换到和从矩阵表示，所以你可以做你的串联这样，你应该选择这样做。或者，您也可以将所有内容都保留为矩阵（四元数具有一些不错的优点，例如更容易以理智的方式进行插值，但是是否需要由您自己决定）。

也：

因此，我将其可视化为围绕尾部不在本地原点的向量旋转。

严格来说，虽然向量可以通过将其视为从原点的位移来表示位置，但向量本身没有位置，因此可视化这样的位置有点不寻常。