如何在贝塞尔曲线上实现均匀的移动速度？

我正在尝试沿贝塞尔曲线移动图像。这是我的方法：

- (void)startFly
{    
 [self runAction:[CCSequence actions:
             [CCBezierBy actionWithDuration:timeFlying bezier:[self getPathWithDirection:currentDirection]],
             [CCCallFuncN actionWithTarget:self selector:@selector(endFly)],
             nil]];

}

我的问题是图像移动不均匀。刚开始时它运行缓慢，然后逐渐加速，最后它运行得非常快。我应该怎么做才能摆脱这种加速？

对于大多数参数轨迹，可以近似解决该问题。想法如下：如果在曲线上放大足够深，则无法从该点的切线知道曲线本身。

通过进行此假设，无需预先计算两个以上的向量（三次贝塞尔曲线等三个）。

因此，对于曲线$M(t)$我们计算其切线向量$\frac{dM}{dt}$$t$$\lVert \frac{dM}{dT} \rVert$$\Delta t$$\lVert \frac{dM}{dT} \rVert \Delta t$$L$$L \div \lVert \frac{dM}{dT} \rVert$

应用：二次贝塞尔曲线

如果贝塞尔曲线的控制点是，和，则轨迹可以表示为：$A$$B$$C$

$$\begin{align} M(t) &= (1-t)^2A + 2t(1-t)B + t^2C \\ &= t^2(A - 2B + C) + t(-2A + 2B) + A \end{align}$$

因此，导数为：

$$\frac{dM}{dt} = t(2A - 4B + 2C) + (-2A + 2B)$$

您只需要将向量和某个位置。然后，对于给定的，如果要前进长度，则可以执行以下操作：$\vec v_1 = 2A - 4B + 2C$$\vec v_2 = -2A + 2B$$t$$L$

$$t = t + {L \over length(t \cdot \vec v_1 + \vec v_2)}$$

三次贝塞尔曲线

相同的推理适用于具有四个控制点，，和的曲线：$A$$B$$C$$D$

$$\begin{align} M(t) &= (1-t)^3A + 3t(1-t)^2B + 3t^2(1-t)C + t^3D \\ &= t^3(-A + 3B - 3C + D) + t^2(3A - 6B + 3C) + t(-3A + 3B) + A \end{align}$$

导数是：

$$\frac{dM}{dt} = t^2(-3A + 9B - 9C + 3D) + t(6A - 12B + 6C) + (-3A + 3B)$$

我们预先计算了三个向量：

$$\begin{align} \vec v_1 &= -3A + 9B - 9C + 3D \\ \vec v_2 &= 6A - 12B + 6C \\ \vec v_3 &= -3A + 3B \end{align}$$

最终公式为：

$$t = t + {L \over length(t^2 \cdot \vec v_1 + t \cdot \vec v_2 + \vec v_3)}$$

准确性问题

如果您以合理的帧速率运行，则（应根据帧持续时间进行计算）将足够小，以使其近似工作。$L$

但是，在极端情况下，您可能会遇到错误。如果太大，则可以分段计算，例如使用10个部分：$L$

for (int i = 0; i < 10; i++)
    t = t + (L / 10) / length(t * v1 + v2);

您需要重新设置曲线的参数。最简单的方法是计算曲线几段的弧长，并使用这些长度来确定应从何处采样。例如，也许在t = 0.5（中途通过）处，您应该将s = 0.7传递到曲线上以获得“中途”位置。为此，需要存储各种曲线段的弧长列表。

可能有更好的方法，但这是我在游戏中编写的一些非常简单的C＃代码。移植到目标C应该很容易：

public sealed class CurveMap<TCurve> where TCurve : struct, ICurve
{
    private readonly float[] _arcLengths;
    private readonly float _ratio;
    public float length { get; private set; }
    public TCurve curve { get; private set; }
    public bool isSet { get { return !length.isNaN(); } }
    public int resolution { get { return _arcLengths.Length; } }

    public CurveMap(int resolution)
    {
        _arcLengths = new float[resolution];
        _ratio = 1f / resolution;
        length = float.NaN;
    }

    public void set(TCurve c)
    {
        curve = c;
        Vector2 o = c.sample(0);
        float ox = o.X;
        float oy = o.Y;
        float clen = 0;
        int nSamples = _arcLengths.Length;
        for(int i = 0; i < nSamples; i++)
        {
            float t = (i + 1) * _ratio;
            Vector2 p = c.sample(t);
            float dx = ox - p.X;
            float dy = oy - p.Y;
            clen += (dx * dx + dy * dy).sqrt();
            _arcLengths[i] = clen;
            ox = p.X;
            oy = p.Y;
        }
        length = clen;
    }

    public Vector2 sample(float u)
    {
        if(u <= 0) return curve.sample(0);
        if(u >= 1) return curve.sample(1);

        int index = 0;
        int low = 0;
        int high = resolution - 1;
        float target = u * length;
        float found = float.NaN;

        // Binary search to find largest value <= target
        while(low < high)
        {
            index = (low + high) / 2;
            found = _arcLengths[index];
            if (found < target)
                low = index + 1;
            else
                high = index;
        }

        // If the value we found is greater than the target value, retreat
        if (found > target)
            index--;

        if(index < 0) return curve.sample(0);
        if(index >= resolution - 1) return curve.sample(1);

        // Linear interpolation for index
        float min = _arcLengths[index];
        float max = _arcLengths[index + 1];
        Debug.Assert(min <= target && max >= target);
        float interp = (target - min) / (max - min);
        Debug.Assert(interp >= 0 && interp <= 1);
        return curve.sample((index + interp + 1) * _ratio);
    }
}

编辑：值得注意的是，这不会给您确切的弧长，因为不可能获得三次曲线的弧长。所有这一切都是估计各个段的长度。根据曲线的长度，您可能需要提高分辨率，以防止其到达新线段时改变速度。我通常使用〜100，这是我从未遇到过的问题。

一种非常轻巧的解决方案是近似速度而不是近似曲线。实际上，这种方法独立于曲线函数，使您可以使用任何精确的曲线，而不必使用导数或近似值。

这是C＃Unity 3D的代码：

public float speed; // target linear speed

// determine an initial value by checking where speedFactor converges
float speedFactor = speed / 10; 

float targetStepSize = speed / 60f; // divide by fixedUpdate frame rate
float lastStepSize;

void Update ()
{   
    // Take a note of your previous position.
    Vector3 previousPosition = transform.position;

    // Advance on the curve to the next t;
    transform.position = BezierOrOtherCurveFunction(p0, p1, ..., t);

    // Measure your movement length
    lastStepSize = Vector3.Magnitude(transform.position - previousPosition);

    // Accelerate or decelerate according to your latest step size.
    if (lastStepSize < targetStepSize) 
    {
        speedFactor *= 1.1f;
    }
    else
    {
        speedFactor *= 0.9f;
    }

    t += speedFactor * Time.deltaTime;
}

尽管该解决方案与曲线函数无关，但是我想在此处注意这一点，因为我也在寻找如何在Bezier曲线上实现恒定速度，然后提出了该解决方案。考虑到该功能的普及，这可能会有所帮助。

我对cocos2一无所知，但是贝塞尔曲线是一种参数方程式，因此您应该能够获得时间上的x和y值。