通过四元数旋转vector3

我正在尝试通过给定的四元数旋转vector3。

我知道这是真的

$$v' = q \cdot v \cdot q^{-1}$$

我知道是的逆，但是如何将向量的乘法映射到四元数以得到向量呢？$q^{-1}$$\frac {-q} {magnitude(q)}$

我发现您可以将视为矩阵，并将和转换为矩阵，然后将从矩阵转换为向量，但这似乎只是为了获得向量而已。有没有我可以使用的更清洁的实现？$v$$q$$q'$$v'$

内森·里德（Nathan Reed）和泰德隆（teodron）暴露后，将向量v旋转单位长度四元数q的公式为：

1）从v中创建一个纯四元数p。这仅意味着添加第四个坐标0：

$$p = (v_x, v_y, v_z, 0) \Leftrightarrow p = (v, 0)$$

2）将其与q预乘，并将其与共轭q *后乘：

$$p' = q \times p \times q*$$

3）这将导致另一个纯四元数，可以将其转换为向量：

$$v' = (p'_x, p'_y, p'_z)$$

该向量被旋转了。$v'$$v$$q$

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这是可行的，但远非最佳。四元数乘法意味着无数次操作。我对诸如此类的各种实现感到很好奇，并决定查找这些实现来自何处。这是我的发现。

我们还可以将q描述为3维向量u和标量s的组合：

$$q = (u_x, u_y, u_z, s) \Leftrightarrow q = (u, s)$$

根据四元数乘法的规则，并且由于单位长度四元数的共轭只是反函数，所以我们得到：

$$\begin{align} p' &= qpq* \\ &= (u, s)(v,0)(-u, s) \\ &= (sv + u \times v, -u \cdot v)(-u, s) \\ &= ((-u \cdot v)(-u) + s(sv + u \times\ v) + (sv + u \times v) \times (-u), \dots) \\ &= ((u \cdot v) u + s^2v + s(u \times v) + sv \times (-u) + (u \times v) \times (-u), \dots) \end{align}$$

标量部分（椭圆）为零，如此处所述。有趣的是矢量部分，也就是我们的旋转矢量v'。可以使用一些基本的向量身份进行简化：

$$\begin{align} v' &= (u \cdot v)u + s^2v + s(u \times v) + s(u \times v) + u \times (u \times v) \\ &= (u \cdot v)u + s^2v + 2s(u \times v) + (u \cdot v)u - (u \cdot u)v \\ &= 2(u \cdot v)u + (s^2 - u \cdot u)v + 2s(u \times v) \end{align}$$

现在这更加理想 ; 两个点积，一个叉积和一些附加项：大约一半的业务量。这将在源代码中给出类似的内容（假设一些通用的矢量数学库）：

void rotate_vector_by_quaternion(const Vector3& v, const Quaternion& q, Vector3& vprime)
{
    // Extract the vector part of the quaternion
    Vector3 u(q.x, q.y, q.z);

    // Extract the scalar part of the quaternion
    float s = q.w;

    // Do the math
    vprime = 2.0f * dot(u, v) * u
          + (s*s - dot(u, u)) * v
          + 2.0f * s * cross(u, v);
}

首先，q ^（-1）不是-q / magnitude（q）; 它是q * /（magnitude（q））^ 2（q *是共轭；除实数之外的所有分量）。当然，如果所有四元数都已经归一化（通常在旋转系统中），则可以按量级进行除法运算。

至于与向量的乘积，您只需通过将quat的实数分量设置为零并将其ijk分量设置为向量的xyz来将向量扩展为四元数。然后，执行四元数乘法以获得v'，然后再次提取ijk分量。（v'的实部应始终为零，加上或减去一些浮点误差。）

第一个观察结果：的逆q不是-q/magnitude(q)，那是完全错误的。四元数的旋转意味着这些4D复数等价物具有统一范数，因此位于该4D空间中的S3单位球体上。quat是一元的事实意味着其范数是norm(q)^2=q*conjugate(q)=1，这意味着quat的逆是其共轭。

如果单位四元数写为q=(w,x,y,z)=（cos（t），sin（t）v），则其共轭数conjugate(q)=(w,-x,-y,-z)==（cos（t），-sin（t）v），其中t是旋转角的一半，而v是旋转轴（当然是单位矢量）。

当那个汉密尔顿花花公子决定使用更高维度的复数等价物时，他还偶然发现了一些不错的性质。例如，如果您使用一个完全纯的四元数q=(0,x,y,z)（没有标量部分w！），则可以认为该废话是矢量（实际上是人们可能将其称为S3球的赤道的quat）。 ！-如果我们考虑当今19世纪人们在技术上受到的损害在我们看来似乎是弯曲的东西，那么请多加注意。因此，汉密尔顿以quat形式获取了该矢量：v=(0,x,y,z)考虑了quat 的几何特性，进行了一系列实验。

INPUT: _v=(x,y,z)_ a random 3D vector to rotate about an __u__ unit axis by an angle of _theta_

OUTPUT: q*(0,_v_)*conjugate(q)

哪里

 q = (cos(theta/2), sin(theta/2)*u)
 conjugate(q) = inverse(q) = (cos(theta/2), -sin(theta/2)*u)
 norm(q)=magnitude(q)=|q|=1

观察：q *（0，v）* conj（q）必须是（0，v'）形式的另一个夸脱。我不会详细解释为什么会发生这种情况，但是如果您通过这种方法旋转一个纯虚构的四元数（在我们的例子中是一个矢量！），那么您必须得到一个类似的对象：纯虚构的四元数。 ...，您将其虚构的部分作为结果。有了它，带螺母壳的四元数旋转的奇妙世界。

注意：对于那些使用过分使用的短语的人：quats很好，因为它们避免了'em gimbal lock ..应该首先释放他们的想象力！！夸脱仅仅是“优雅的”数学工具，可以通过使用其他方法完全避免，我发现在几何上完全等效的是轴角方法。

代码：我喜欢的C ++库非常简单，但具有3D图形实验人员所需的所有矩阵，矢量和quat操作，而不必花费超过15分钟的时间来学习。如果您不是C ++新手，则在15分钟内完成。祝好运！

这是通过四元数转换向量的另一种方法。这是MS在xna框架中执行此操作的方式。 http://pastebin.com/fAFp6NnN

我尝试手工解决此问题，并提出了以下等式/方法：

// inside quaterion class
// quaternion defined as (r, i, j, k)
Vector3 rotateVector(const Vector3 & _V)const{
    Vector3 vec();   // any constructor will do
    vec.x = 2*(r*_V.z*j + i*_V.z*k - r*_V.y*k + i*_V.y*j) + _V.x*(r*r + i*i - j*j - k*k);
    vec.y = 2*(r*_V.x*k + i*_V.x*j - r*_V.z*i + j*_V.z*k) + _V.y*(r*r - i*i + j*j - k*k);
    vec.z = 2*(r*_V.y*i - r*_V.x*j + i*_V.x*k + j*_V.y*k) + _V.z*(r*r - i*i - j*j + k*k);
    return vec;
}

如果有人愿意查看我使用的http://pastebin.com/8QHQqGbv的 mt派生，我将不胜感激，我建议将其复制到支持侧面滚动的文本编辑器中

用我的记法，我用q ^（-1）表示共轭（而不是逆）和不同的标识符，但我希望它是可以遵循的。我认为多数是正确的，尤其是在证明向量的实部会消失的地方。