圆内圆碰撞

在我的一个项目中，我有一个圆形的游戏区。在这个圆圈内，另一个小圆圈在移动。我要做的是防止小圆圈移到大圆圈之外。在下面可以看到，在第2帧中，小圆圈部分在外面，我需要一种方法将其移回即将要移到外面的位置。如何才能做到这一点？

另外，我需要沿着大圆弧的碰撞点，以便可以更新小圆的速度。如何计算这一点？

我想做的是在移动小圆圈之前，先预测它的下一个位置，如果它在外面，我会发现t = 0和t = 1之间的碰撞时间（t = 1全时间步长）。如果我有碰撞时间t，那么我只是在t内移动小圆圈，而不是整个时间步长。但是，问题又来了，当我碰到两个圆圈，一个圆圈在另一个圆圈内时，我不知道该如何检测碰撞发生。

编辑：

我想找到碰撞点示例（绿色）。也许图片有点不对劲，但您明白了。

假设大圆具有中心A和半径R，而小圆具有中心B和半径r朝向location C。

有一个很好的方法来解决此问题，请使用Minkovski和（实际上是减法）：将radius R的圆盘替换为radius的圆盘，而radius 的圆盘替换R-r为radius r的圆盘0，即。位于的简单点B。该问题成为线圆相交的问题。

然后，您只需检查距离AC是否小于R-r。如果是，则圆圈不会发生碰撞。如果是较大的，只要找到点D上BC的距离R-r的A，这是你的小圆圈的中心的新位置。这等效于找到k以下内容：

  vec(BD) = k*vec(BC)
and
  norm(vec(AD)) = R-r

替换vec(AD)为vec(AB) + vec(BD)给出：

AB² + k² BC² + 2k vec(AB).vec(BC) = (R-r)²

假设初始位置在大圆圈内，则该二次方程式k有一个正根。这是如何用伪代码求解方程式：

b = - vec(AB).vec(BC) / BC²    // dot product
c = (AB² - (R-r)²) / BC²
d = b*b - c
k = b - sqrt(d)
if (k < 0)
    k = b + sqrt(d)
if (k < 0)
    // no solution! we must be slightly out of the large circle

随着该值k，小圈的新中心是D这样BD = kBC。

编辑：添加二次方程解

假设大圆圈是圆圈A，小圆圈是圆圈B。

检查B是否在A内：

distance = sqrt((B.x - A.x)^2 + (B.y - A.y)^2))
if(distance > A.Radius + B.Radius) { // B is outside A }

如果n-1B 帧在A内并且B 帧在A n之外，并且帧之间的时间不是太大（又称B的移动速度不太快），我们可以通过仅找到相对于B的笛卡尔坐标来近似碰撞点到A：

collision.X = B.X - A.X;
collision.Y = B.Y - A.Y;

然后我们可以将这些点转换为角度：

collision.Normalize(); //not 100% certain if this step is necessary     
radians = atan2(collision.Y, collision.X)

如果您想t第一次更准确地知道B在A之外是什么，则可以每帧进行一次射线-圆交点，然后比较从B到碰撞点的距离是否更大，那么距离B可以行进现在的速度。如果是这样，您可以计算出准确的碰撞时间。

令（Xa，Ya）为大圆的位置及其半径R，而（Xb，Yb）为小圆的位置及其半径r。

您可以检查这两个圆是否碰撞

DistanceTest = sqrt(((Xa - Xb) ^ 2) + ((Ya - Yb) ^ 2)) >= (R - r)

要找出碰撞的位置，请使用二进制搜索但步数固定，以找到圆碰撞的确切时刻。根据游戏的制作方式，您可以优化代码的这一部分（我提供的解决方案独立于小球的行为。如果它具有恒定的加速度或恒定的速度，则可以优化代码的这一部分并替换为一个简单的公式）。

left = 0 //the frame with no collision
right = 1 //the frame after collision
steps = 8 //or some other value, depending on how accurate you want it to be
while (steps > 0)
    checktime = left + (right - left) / 2
    if DistanceTest(checktime) is inside circle //if at the moment in the middle of the interval [left;right] the small circle is still inside the bigger one
        then left = checktime //the collision is after this moment of time
        else right = checktime //the collision is before
    steps -= 1
finaltime = left + (right - left) / 2 // the moment of time will be somewhere in between, so we take the moment in the middle of interval to have a small overall error

一旦知道了碰撞时间，就可以计算出最终时间两个圆的位置，最终的碰撞点为

CollisionX = (Xb - Xa)*R/(R-r) + Xa
CollisionY = (Yb - Ya)*R/(R-r) + Ya

我已经使用Sam Hocevar描述的算法在jsfiddle上实现了一个球弹跳的演示：

http://jsfiddle.net/klenwell/3ZdXf/

这是识别联系点的javascript：

find_contact_point: function(world, ball) {
    // see https://gamedev.stackexchange.com/a/29658
    var A = world.point();
    var B = ball.point().subtract(ball.velocity());
    var C = ball.point();
    var R = world.r;
    var r = ball.r;

    var AB = B.subtract(A);
    var BC = C.subtract(B);
    var AB_len = AB.get_length();
    var BC_len = BC.get_length();

    var b = AB.dot(BC) / Math.pow(BC_len, 2) * -1;
    var c = (Math.pow(AB_len, 2) - Math.pow(R - r, 2)) / Math.pow(BC_len, 2);
    var d = b * b - c;
    var k = b - Math.sqrt(d);

    if ( k < 0 ) {
        k = b + Math.sqrt(d);
    }

    var BD = C.subtract(B);
    var BD_len = BC_len * k;
    BD.set_length(BD_len);

    var D = B.add(BD);
    return D;
}