如何从转换矩阵中提取方向？

我有一个4x4的转换矩阵M，我想找出通过M转换后的球体的形状。（球体在原点，半径为1。）

我知道只要将M乘以（0,0,0,1）就可以找到中心。

但是，由于M可以挤压和旋转球体，因此半径成为问题。如何找出所得椭球的新半径？有什么办法找出方向吗？

更具体地说，我需要知道包围转换后的球体的边界球体的大小。换句话说，| M * V-M *（0,0,0,1）|的最大值是多少，其中V是单位矢量（原始球体上的一个点）。

— 船长科德曼
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您不能只计算转换后的轴矢量的长度吗？（矩阵旋转部分的3列）边界球的半径等于最长向量的长度。

— 巴特2013年

不，我认为那是不对的。最长方向可能未与轴对齐。（想象一下，如果您压扁，旋转，再次压扁，再旋转其他，等等）

— CaptainCodeman 2013年

嗯，不确定这很重要。如果我能说服自己，我今天晚些时候会写下答案。;）

— 巴特

问题是，如果执行SCALE转换，则M矩阵的基向量不必彼此正交。

— GPUquant

stackoverflow.com/questions/4368961/...

— 杰夫·盖茨

Answers:

在数学上，您要询问的数量称为算子范数。不幸的是，没有简单的公式可以解决。如果这是一个完全通用的仿射变换-例如，如果它可以具有任意顺序的旋转和不均匀比例的任意组合，那么恐怕没有什么可以使用奇异值分解了。如果将SVD应用于矩阵，则最大的奇异值将是所得椭球的最大半径。其他奇异值也将是其其他两个半径，并且SVD过程也可以为您提取轴的方向。

实施SVD并非出于胆小，因为它涉及寻找特征值。如果您只需要奇异值本身，它们就是M ^ T * M特征值的平方根。因此，如果您有一个3x3特征值求解器，或者您不介意编写一个，则可以使用它。如果您还想提取轴的方向，那么它也将涉及更多，因为您也必须找到特征向量。在该Wikipedia文章上，列出了用于执行SVD的库的链接列表，您可以在项目中使用其中的一个。

如果矩阵的形式受到限制，使得不均匀缩放最多发生一次，并且是应用的第一个变换，即在使用列向量时最右边，那么您可以简化此过程，只需查看转换后的轴向量。仅在那种情况下（即单个不均匀的比例尺，然后是旋转，反射和均匀比例尺的任何序列），仅查看轴矢量将为您提供正确的答案。

— 内森·里德（Nathan Reed）
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谢谢，我感谢您的详细答复。其他答案中提供的分解在哪里无效？

— CaptainCodeman

@CaptainCodeman另一个答案就是看变换后的轴矢量（即矩阵的列），就像我在第三段中描述的那样。如果旋转后缩放比例不一致，则失败，因为这样缩放比例就不会沿原始轴应用。

— 内森·里德

也许从矩阵中提取比例因子，然后使用其分量的最大值。使用SRT（缩放-旋转-平移）矩阵，您可以这样做：

glm::mat4 m = ...;
// Extract col vectors of the matrix
glm::vec3 col1(m[0][0], m[0][1], m[0][2]);
glm::vec3 col2(m[1][0], m[1][1], m[1][2]);
glm::vec3 col3(m[2][0], m[2][1], m[2][2]);
//Extract the scaling factors
glm::vec3 scaling;
scaling.x = glm::length(col1);
scaling.y = glm::length(col2);
scaling.z = glm::length(col3);

float scaleFactor = MAX(scaling.x, MAX(scaling.y, scaling.z));

（基于http://wklej.org/id/950061/-名称是decomposeTRS而不是decomposeSRT，因为我使用的名称是按es顺序排列的，在OpenGL中矩阵被乘以）。

现在，您可以将原始球体半径乘以scaleFactor，然后得到边界球体。

— 逆转
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