矩阵代表什么？

我最近开始学习OpenGL，但在可视化矩阵及其在计算机图形学中的作用时遇到了问题。给定这样的4x4矩阵模板：

我假设像这样的每个矩阵都是世界空间中顶点的坐标。然后将它们中的几个放在一起并加阴影给一个对象？

但是为什么会有a Xx，a Xy和an Xz？我读到它的轴是不同的（上，左，前），但仍然无法使意义变得有意义。

计算机图形学中的矩阵是赋予模型中每个坐标的变换。每个矩阵都是应用于坐标（3空间中的一个点）的多个变换的组合。

构建变换基于以下三种变换类型之一：平移，旋转和缩放。

翻译矩阵类似于：

和比例矩阵：

旋转矩阵如下所示：

要组合这些矩阵中的任何一个，只需将它们相乘即可。要将变换应​​用于顶点，只需将其乘以该顶点（如翻译图中所示）。

在计算机图形学中，我们使用矩阵对变换进行编码。

仅包含平移，旋转或缩放变换的矩阵具有一种常用的解释：矩阵的左上3x3仅包含旋转或缩放数据，下一行或右列包含平移数据。这不是一般性，但对于人们使用它的计算机图形表示的转换子集而言，经常足够适用。

类似地，在矩阵的值和矩阵表示的相应坐标系之间存在一种关系（我不应该总是注意​​到它总是“世界空间”）。左上的3x3列（或行）代表坐标系的X，Y和Z轴。

行是否表示轴还是列确实取决于您是否使用乘以as row vector * matrix或的约定matrix * column vector。在执行矩阵乘法时，两个矩阵的内部维数必须一致，因此将矢量表示为行矩阵还是列矩阵都会影响选择（OpenGL和传统数学方法倾向于使用列向量）。

我建议读一本关于线性代数的好书，或者至少看看Matrix和Quaternion FAQ以及这篇有关DirectX和OpenGL中矩阵布局的文章。

什么是矩阵？

具有m列和n行的矩阵表示一个函数，该函数使用带有元素（或坐标）的向量^*m并生成带有n元素的向量。

从中可以看出，当且仅当矩阵为正方形时，向量的维数才会改变。例如。您可以通过转换3D矢量，从2D转换2D等获得3D矢量。

^*：在物理学中，矢量通常用于表示“移动”事物（例如速度或加速度）的力或其他“影响”。但是，没有什么可以阻止您使用向量来表示点或任何数字数组（某些库和编程语言甚至使用“向量”来表示“一维数组”）。对于与矩阵一起使用，任何东西都可以是向量的元素（甚至是字符串或颜色），只要您具有将它们与矩阵元素相乘，相减和相乘的方法即可。因此，名称vector，意思是“载体”-它为您携带或保存值。

乘以矩阵是什么意思？

那么，如果矩阵是一个函数，那么什么样的函数呢？该功能做什么？它的配方由矩阵的元素定义。让我们将其称为input u，output v，矩阵M（M*u=v然后乘积与相同f(u)=v），并u(i)给出的ith个元素u（例如，第二个元素是y坐标）。对于矩阵，M(i,j)表示row i，column j。

element的构造（v(1)结果中的第一个）由矩阵的第一行描述。u(1)次M(1,1)，u(2)多次M(1,2)，... u(i)次M(1,i)。矩阵有点像一种非常简单的编程语言，仅适用于编程功能，这些功能可以通过对输入进行混洗，将其添加到自身等来工作。^**

想象一下您一次处理一个输出元素是很有帮助的，因此，您一次只使用矩阵的一行。您u水平书写。您将其写在M下面的第i行。您乘以上面/下面的每对，并在下面写下乘积，然后将乘积相加。对每一行重复操作以获取的每个元素v。（现在您了解了为什么mby n矩阵必须对m向量进行运算并产生n向量。）

考虑这种情况的另一种方式-假设我们正在执行3D到3D转换，因此3x3矩阵（或通常称为3D转换，因为您可以假装此“功能”正在“移动” 3D点，即使实际上是只是改变数字）。假设第一行是[1 2 0]。这意味着，要获取x的结果，请获取输入x的1，输入y的2和输入z的0。所以这真的是一个食谱。

^**：如果矩阵是一种编程语言，那么它甚至不是图灵完整的。

两个矩阵相乘是什么意思？

如果它们都是适当大小的矩阵，则A*B表示“先应用函数，B然后应用A”。您会看到为什么存在对乘法大小的约束，因为大小决定了输入和输出大小，而一个矩阵消耗了另一个矩阵的输出。为什么乘法意味着合并函数？更容易注意到它必须是。If A*u与f(u)和B*u相同，g(u)则f(g(u))与和f(B*u)相同A*(B*u)。

同样，重复使用同一功能可以表示为幂，因为这A*A*A意味着应用A代表三次的功能。

矩阵有什么用？

进行类似的转换有什么好处new_x = 1*x+2*y+0*z（如果第一行是[1 2 0]）？这不是很明显，但是让我们采用另一个2D矩阵对此进行解释。矩阵为：

[ 0 1
  1 0 ]

或[0 1; 1 0]使用方便的Matlab表示法。这个矩阵做什么？它将像这样转换2D向量：对于结果的x，取输入y的1。对于结果y，取输入x的1。我们只是交换了输入的x和y坐标-这个矩阵反映了关于x = y线的点。这很有用！通过扩展，您会看到沿SW - NE线的所有矩阵均为1的情况都将反射。您还可以看到为什么身份矩阵给您输入（对于x输出，取x输入；对于y输出，取y输入...）。

现在您了解为什么符号是例如。Xx，Yx-他们的意思是多少投入X，Y等进入输出x。

矩阵还有什么用？

您还可以进行哪些其他转换？您可以通过采用一个单位矩阵来调整大小，但沿对角线的数字不能为1。例如，[2.5 0; 0 22.5]将输入的每个坐标乘以2.5，如果将此矩阵应用于图片中的每个点，则图片的大小将为2.5。如果仅将2.5放在一行（[2.5 0; 0 1]）中，则将仅乘以x坐标，因此只能沿x拉伸。

其他矩阵可以进行其他转换，例如“倾斜”，这些转换具有不同程度的有用性。就个人而言，偏斜是我最不喜欢的，因为矩阵看起来很简单，但变换本身几乎不做任何事情，只需要弄乱图片即可。一个有用的是“旋转”-如何旋转一个点？绕原点逆时针(x, y)旋转角度后，尝试计算出点的位置theta。您会发现，新的x和y坐标都是通过将旧的x和y乘以theta的某些正弦和余弦得出的。您应该能够使用与该函数相对应的正弦和余弦轻松编写旋转矩阵。

使用非平方矩阵，您还可以更改输入的维数。将2D输入转换为3D并不是很有用，因为很难“制造”要放入新坐标的东西，但是将3D转换为2D非常有用。别的不说，这是你的电脑是如何知道项目^*** 3D场景到2D图像绘制在显示器上。

由于向量可以容纳不同的事物，因此您甚至可以描述一个矩阵，该矩阵一次将字符串n个字符改组或将它们“相乘”或“相乘”（您必须提供乘法/加法函数）。

^***：投影时，您将3D对象像雕塑一样，在其上照亮灯光，然后查看在墙壁上滴下什么样的2D阴影。

矩阵的局限性是什么？

矩阵可以执行所有功能吗？不。以图形方式思考时，很难想象矩阵无法做到的事情（但它确实存在：例如，“漩涡”效果无法实现）。但是，这里有一个简单的例子：假设功能f是这样的，f(u)让你回来u 与方形的每一个元素。您将看到，您无法为此编写矩阵：使用矩阵，只有一种工具可以描述将坐标乘以常数的配方，而不能表达其他类似幂的函数。

^****：这也是为什么它被称为线性代数的原因-幂函数是非线性的，绘制时不会形成直线。

在4D矩阵中奇怪的额外行

现在，为什么您的示例中的矩阵是4×4？这不是4维空间吗？我们没有4D电脑，那为什么呢？对于与先前关于线性运算的观点有关的矩阵，这实际上是一个有趣的技巧。

关于不能使用矩阵完成哪些功能：将2D点向右移动2个单位的矩阵是什么（产生点(x+2, y)？再次，我们陷入了困境。有一种方法可以使输入相乘，但无法相加对于2D工作，诀窍是假装您实际上不在2D空间中，而是在3D空间中，除了所有东西的高度（z坐标或第3个元素）始终为1（有点像2D宇宙如何）只是一个沿着3D宇宙的地板平放的“盘子”（在这种情况下，第三个坐标始终为0）。因此，您可以将此不可思议的最后一个坐标用作常数，因为您知道每个输入的坐标始终为1。

同样，要移动3D点，您需要4D坐标。这就是为什么您看到的所有3D转换矩阵都将[0 0 0 1]作为最后一行的原因-您绝不能更改第4维，否则结果将太复杂而无法在3D中表示！

那是一个4x4的列主矩阵，从它的外观看，就是一个视图矩阵。

前三列定义基本矢量的方向（如您所称的那样向上，向左，向前），最后一列定义视点的平移。将它们放在一起，您可以描述相机的方向，更重要的是，您可以使用此矩阵将点转换为坐标空间，称为“眼睛空间”，“视图空间”或“相机空间”。

这些都是相同坐标空间的同义词。不幸的是，在处理计算机图形时，您必须学习所有同义词，因为不同的书籍和人们会用不同的名称来称呼它们。大多数坐标空间都有多个名称。

顺便说一句，视图矩阵中的三列通常是正交的，即它们彼此成直角。这不是必需的，但是在构造传统相机时这是非常常见的属性。

TL; DR版本：

[x y z]每行中的前三个元素表示变换后的坐标系的单个基本向量。最后一个元素w是翻译组件。

长版

如果您需要一个矩阵，当该矩阵应用于顶点时，可以使顶点绕原点旋转例如45度，则可以用代表变换轴的三个向量填充矩阵：

• 的点i上的x轴[1 0 0]，但旋转了45度。这很简单[i_x i_y i_z]，其中i_x和i_y是与X轴成45度内角的三角形的边：[cos(45) sin(45) 0]。
• jy轴上的点[0 1 0]，但从该轴旋转了45度。将其草绘在一张纸上，您会看到，逆时针旋转时，组件变为[-sin(45) cos(45) 0]。
• 的点k上的z轴。在此示例中，z由于我们在（屏幕对齐）xy平面中旋转，因此不会受到影响

因此，我们有了三个新向量：i，j，k。可视化此方法的简单方法是仅使用X和Y轴并旋转整个十字排列。

我们如何将它们放在矩阵中？

i_x i_y i_z
j_x j_y j_z
k_x k_y k_z

要么

 cos(45)  sin(45)    0
-sin(45)  cos(45)    0
    0        0       1

如果将任何顶点乘以该矩阵，您将得到

v1_x = v_x cos(Θ)     - v_y sin(Θ) + v_z * 0
V1_y = v_x*sin(Θ)    + v_y cos(Θ) + v_Z * 0
V1_z = v_x * 0        + v_y * 0    + v_z * 1

为v = [1 0 0]和Θ = 90°，这成为v1 = [0 1 0]

对于翻译，我们添加第四行和第四列，并将翻译组件放在最后一列中。我们向顶点添加第四个分量，w通常为1。这样，当我们将顶点乘以矩阵时，w分量会导致将最后一列添加到输入顶点，因此将移动或平移顶点。我们称这些为“均匀坐标”。（出于我们的目的，“同质”仅表示w每个向量中都有第4个分量，我们使用4x4矩阵而不是3x3。通常，您会看到使用4x3矩阵的着色器以避免发送几乎无用的第4行到GPU，这会消耗宝贵的内存和带宽。透视投影需要第4行，但不需要太多。）

希望这可以帮助。