如何使用点积获得两个向量之间的夹角？

我正在学习在游戏中使用归一化向量。

我了解到，为了知道两个向量之间的角度，我可以使用点积。这给我一个介于-1和1之间的值，其中

• 1表示矢量平行并且面向相同方向（角度为180度）。
• -1表示它们平行且面对相反的方向（仍为180度）。
• 0 表示它们之间的角度为90度。

我想知道如何将两个向量的点积转换为以度为单位的实际角度。例如，如果两个向量的点积为0.28，则0和360度之间的对应角度是多少？

dot(A,B) = |A| * |B| * cos(angle)
可以重新排列为
angle = arccos(dot(A,B) / (|A|* |B|))。

使用此公式，您可以找到两个向量之间的最小角度，该角度介于0和180度之间。如果您需要在0到360度之间的温度范围，此问题可能会对您有所帮助。

顺便说一句，指向同一方向的两个平行向量之间的角度应为0度，而不是180度。

我将利用您的问题带有“ 2D”标签的事实来扩展TravisG的评论并给出另一个答案。

您可以使用点积获得两个向量之间的角度，但是无法使用点积获得两个向量之间的正负角度。换句话说，如果您想随着时间将角色转向某个点，则点积将为您提供转向的角度，而不是转向的方向。但是，还有另一个简单的公式，与点积结合使用时非常有用。你不仅有

dot(A,B) = |A| * |B| * cos(angle)

您还可以使用另一个公式（我为政治上的正确性起了名字）：

pseudoCross(A,B) = |A| * |B| * sin(angle)

其中如果A =（a，b），B =（x，y），则将伪交叉（A，B）定义为叉积（a，b，0）x（x，y，0 ）。换一种说法：

a*x+b*y = |A| * |B| * cos(angle)

-b*x+a*y = |A| * |B| * sin(angle)

这样就形成了全angle=atanfull(-b*x+a*y,a*x+b*y)正负号（如果您传递非标准化值，则atanfull或atan2函数会原谅您）。如果将A和B进行归一化，也就是说，如果|A|=|B|=1它们是简单的：

a*x+b*y = cos(angle)

-b*x+a*y = sin(angle)

要进行更深入的说明，请注意，上述方程可以由矩阵方程表示：

[ a,b]   [x]   [cos(angle)]
[-b,a] * [y] = [sin(angle)]

但是，对于某个值a=cos(ang1)，a和b可以表示为，（不是）。因此，左侧的矩阵是将向量（x，y）旋转-ang1的旋转矩阵。这等效于切换到参考系，其中将单位矢量“ A”视为矢量/轴（1,0）！因此，仅通过在此帧中绘制单位圆/直角三角形，您就可以知道为什么该乘积的最终矢量为（cos（angle），sin（angle））。b=sin(ang1)ang1angle

如果以极坐标形式写（a，b）和（x，y），并应用角度差公式cos(l)*cos(m)+sin(l)*sin(m)=cos(l-m)和sin(l)*cos(m)-cos(l)*sin(m)=sin(l-m)，则由于（lm）= angle，因此您重新表达了此乘积给出的正弦/余弦值。或者，可以使用这些标识来查看为什么上面给出的线性乘积旋转矢量。

所有这些身份意味着您很少需要角度。因为角度可能很奇怪-弧度/度数，反正弦/余弦的约定，它们每2 * pi重复一次的事实-这实际上可能会更有用，并且可以节省一堆“ if（ang <180）”等逻辑。