在轮廓图中平滑多边形？

这是等高线图，所有级别的多边形都可用。

让我们问问如何平滑多边形，使所有顶点保留在其精确位置？

实际上，轮廓是在网格数据的顶部制作的，您可能会建议然后对网格数据进行平滑处理，因此最终的轮廓将更加平滑。请注意，这并不是我所希望的，因为诸如高斯滤波器之类的平滑功能将删除少量数据，并将更改第三个变量的范围，例如在我的应用程序中不允许的高度。

实际上，我正在寻找一段代码（最好在Python中），该代码可以使2D多边形（任何类型：凸形，凹形，自相交等）平滑化，并且相当容易（忘记代码页）并且准确。

仅供参考，ArcGIS中有一个功能可以完美地做到这一点，但是对于这个问题，我不是选择使用第三方商业应用程序。

1）

Scipy.interpolate：

如您所见，样条曲线（红色）不令人满意！

2）

这是使用此处给出的代码得到的结果。运行不正常！

3）

对我来说，最好的解决方案应该是如下图所示，其中仅通过更改一个值即可逐渐平滑正方形。我希望有类似的概念可以平滑任何形式的多边形。

满足样条通过点的条件：

4）

这是我在数据上逐行在Python中实现“ whuber的想法” 的方法。由于结果不好，可能存在一些错误。

K = 2是一场灾难，因此对于k> = 4。

5）

我在有问题的位置上删除了一个点，现在所得到的样条曲线与凸纹样条相同。但这仍然是一个问题，为什么该方法不适用于所有情况？

6）

可以通过以下方式很好地平滑whuber的数据（由矢量图形软件绘制），其中平滑添加了一个额外的点（与更新比较）

4）：

7）

有关某些标志性形状，请参见Python版本的Whuber代码的结果：

请注意，该方法似乎不适用于折线。对于角折线（轮廓），绿色是我想要的，但变成红色。这需要解决，因为等高线图总是多段线，尽管闭合的多段线可以像我的示例中那样视为多边形。还不是更新4中出现的问题尚未解决。

8）[我的最后一个]

这是最终的解决方案（不完美！）：

请记住，您将不得不对恒星所指向的区域执行某些操作。我的代码中可能存在错误，或者建议的方法需要进一步开发以考虑所有情况并提供所需的输出。

样条数字序列的大多数方法将样条多边形。诀窍是使样条线在端点处平滑“闭合”。为此，将“顶点”环绕两端。然后分别样条化x和y坐标。

这是中的工作示例R。它使用spline基本统计信息包中提供的默认立方过程。为了获得更多控制，请替换几乎所有您喜欢的过程：仅确保它通过数字花键（即对它们进行插值），而不是仅将它们用作“控制点”。

#
# Splining a polygon.
#
#   The rows of 'xy' give coordinates of the boundary vertices, in order.
#   'vertices' is the number of spline vertices to create.
#              (Not all are used: some are clipped from the ends.)
#   'k' is the number of points to wrap around the ends to obtain
#       a smooth periodic spline.
#
#   Returns an array of points. 
# 
spline.poly <- function(xy, vertices, k=3, ...) {
    # Assert: xy is an n by 2 matrix with n >= k.

    # Wrap k vertices around each end.
    n <- dim(xy)[1]
    if (k >= 1) {
        data <- rbind(xy[(n-k+1):n,], xy, xy[1:k, ])
    } else {
        data <- xy
    }

    # Spline the x and y coordinates.
    data.spline <- spline(1:(n+2*k), data[,1], n=vertices, ...)
    x <- data.spline$x
    x1 <- data.spline$y
    x2 <- spline(1:(n+2*k), data[,2], n=vertices, ...)$y

    # Retain only the middle part.
    cbind(x1, x2)[k < x & x <= n+k, ]
}

为了说明其用法，让我们创建一个小（但很复杂）的多边形。

#
# Example polygon, randomly generated.
#
set.seed(17)
n.vertices <- 10
theta <- (runif(n.vertices) + 1:n.vertices - 1) * 2 * pi / n.vertices
r <- rgamma(n.vertices, shape=3)
xy <- cbind(cos(theta) * r, sin(theta) * r)

使用前面的代码对它进行样条化。若要使样条曲线更平滑，请从100增加顶点数；否则，增加顶点数。要使其不那么平滑，请减少顶点数量。

s <- spline.poly(xy, 100, k=3)

为了查看结果，我们绘制（a）以红色虚线绘制的原始多边形，显示第一个和最后一个顶点之间的间隙（即，不闭合其边界折线）；（b）花键为灰色，再次显示其间隙。（由于间隙太小，其端点用蓝点突出显示。）

plot(s, type="l", lwd=2, col="Gray")
lines(xy, col="Red", lty=2, lwd=2)
points(xy, col="Red", pch=19)
points(s, cex=0.8)
points(s[c(1,dim(s)[1]),], col="Blue", pch=19)

我知道这是一篇旧文章，但是它在Google上显示了我想要的内容，因此我认为应该发布解决方案。

我不认为这是2D曲线拟合练习，而是3D曲线。通过将数据视为3D，我们可以确保曲线永不交叉，并且可以使用其他轮廓的信息来改进对当前轮廓的估计。

以下iPython摘录使用SciPy提供的三次插值。请注意，只要所有轮廓的高度等距，我绘制的z值都不重要。

In [1]: %pylab inline
        pylab.rcParams['figure.figsize'] = (10, 10)
        Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

In [2]: import scipy.interpolate as si

        xs = np.array([0.0, 0.0, 4.5, 4.5,
                       0.3, 1.5, 2.3, 3.8, 3.7, 2.3,
                       1.5, 2.2, 2.8, 2.2,
                       2.1, 2.2, 2.3])
        ys = np.array([0.0, 3.0, 3.0, 0.0,
                       1.1, 2.3, 2.5, 2.3, 1.1, 0.5,
                       1.1, 2.1, 1.1, 0.8,
                       1.1, 1.3, 1.1])
        zs = np.array([0,   0,   0,   0,
                       1,   1,   1,   1,   1,   1,
                       2,   2,   2,   2,
                       3,   3,   3])
        pts = np.array([xs, ys]).transpose()

        # set up a grid for us to resample onto
        nx, ny = (100, 100)
        xrange = np.linspace(np.min(xs[zs!=0])-0.1, np.max(xs[zs!=0])+0.1, nx)
        yrange = np.linspace(np.min(ys[zs!=0])-0.1, np.max(ys[zs!=0])+0.1, ny)
        xv, yv = np.meshgrid(xrange, yrange)
        ptv = np.array([xv, yv]).transpose()

        # interpolate over the grid
        out = si.griddata(pts, zs, ptv, method='cubic').transpose()

        def close(vals):
            return np.concatenate((vals, [vals[0]]))

        # plot the results
        levels = [1, 2, 3]
        plt.plot(close(xs[zs==1]), close(ys[zs==1]))
        plt.plot(close(xs[zs==2]), close(ys[zs==2]))
        plt.plot(close(xs[zs==3]), close(ys[zs==3]))
        plt.contour(xrange, yrange, out, levels)
        plt.show()

这里的结果看起来不是最好的，但是控制点很少，它们仍然是完全有效的。注意如何拉出绿色的拟合线以遵循更宽的蓝色轮廓。

我几乎准确地写了您要查找的软件包...但是它在Perl中，并且已经有十多年了：GD :: Polyline。它使用2D三次方Bezier曲线，并将“平滑”任意的Polygon或“ Polyline”（当时叫我的名字，现在通常称为“ LineString”）。

该算法分两个步骤：给定多边形中的点，在每个点之间添加两个Bezier控制点。然后调用简单算法对样条曲线进行逐段逼近。

第二部分很简单；第一部分是一点艺术。这是见解：将“控制段”视为顶点N ：vN。控制段为三个共线点：[cNa, vN, cNb]。中心点是顶点。该控制段的斜率等于从顶点N-1到顶点N + 1的斜率。该段的左侧部分的长度是从顶点N-1到顶点N的长度的1/3，而该段的右侧部分的长度是从顶点N到顶点N + 1的长度的1/3。

如果原始曲线是四个顶点： [v1, v2, v3, v4]则每个顶点现在将具有以下形式的控制线段：[c2a, v2, c2b]。像这样将[v1, c1b, c2a, v2, c2b, c3a, v3, c3b, c4a, v4]它们串在一起：然后一次将它们四个作为Bezier的四个点：[v1, c1b, c2a, v2]，然后[v2, c2b, c3a, v3]，等等。由于[c2a, v2, c2b]是共线的，因此生成的曲线在每个顶点处都将是平滑的。

因此，这也满足了参数化曲线“紧密度”的要求：对于“更紧密”的曲线，请使用小于1/3的值，对于“更柔和”的配合，请使用较大的值。无论哪种情况，生成的曲线总是穿过原始的给定点。

这样就产生了一条平滑的曲线，“包围”了原始多边形。我还可以通过某种方式“刻画”平滑曲线...但是我在CPAN代码中看不到这一点。

无论如何，我目前没有可用的Python版本，也没有任何数字。但是...如果/当我将其移植到Python时，我一定会在这里发布。