使用ArcGIS Desktop在多边形内填充多边形？

我有一个布尔栅格。

在栅格的灰色区域，我想在一个连续范围内拟合给定大小的多边形。

基本上，我有一个不规则多边形，我想在不规则多边形的范围内尽可能多地“拟合”一个已知多边形。

多边形的方向无关紧要，它可以是正方形。我希望它适合图形显示，但是如果它只是将一个数字附加到多边形（适合的＃号）上也可以。

我正在使用ArcGIS Desktop 10。

有很多方法可以解决此问题。 数据的栅格格式建议使用基于栅格的方法。在回顾这些方法时，将问题表示为二进制整数线性程序看起来很有希望，因为它非常符合许多GIS站点选择分析的精神，并且可以轻松地适应它们。

在此公式中，我们列举了填充多边形的所有可能的位置和方向，我将它们称为“平铺”。与每个图块相关联的是其“优”的度量。目的是找到其总优度尽可能大的非重叠图块的集合。在这里，我们可以将每个图块的优势作为其覆盖的区域。（在数据更加丰富和复杂的决策环境中，我们可能会通过将每个图块中包含的单元格的属性，可能与可见性相关的属性，与其他事物的接近性等等的组合来计算优度。）

对这个问题的约束仅仅是解决方案中没有两个图块可以重叠。

可以通过枚举要填充的多边形（“区域”）1、2，...，M中的像元，以一种有助于进行有效计算的方式将其抽象一些。可以使用零和一的指示符矢量对任何图块的位置进行编码，让它们对应于图块覆盖的单元格和其他位置的零。在这种编码中，可以通过对它们的指示符向量求和（通常是逐个分量）求和来找到有关瓦片集合所需的所有信息：在至少一个瓦片覆盖一个单元的确切位置上，总和将为非零值，并且总和将更大。多于两个或多个图块重叠的位置。（总和有效地计算了重叠量。）

还有一点点抽象：可能会枚举一组可能的磁贴放置，例如1、2，...，N。任何一组瓦片放置的选择本身都对应于指示符矢量，其中指示符矢量指示要放置的瓦片。

这是解决想法的一个小例子。它与用于进行计算的Mathematica代码一起使用，因此编程困难（或缺乏编程困难）显而易见。

首先，我们描述一个要平铺的区域：

region =  {{0, 0, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}};

如果从顶部开始从左到右对其单元格编号，则该区域的指标向量有16个条目：

Flatten[region]

{0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1}

让我们使用以下图块以及所有旋转90度的倍数：

tileSet = {{{1, 1}, {1, 0}}};

生成旋转（和反射）的代码：

apply[s_List, alpha] := Reverse /@ s;
apply[s_List, beta] := Transpose[s];
apply[s_List, g_List] := Fold[apply, s, g];
group = FoldList[Append, {}, Riffle[ConstantArray[alpha, 4], beta]];
tiles = Union[Flatten[Outer[apply[#1, #2] &, tileSet, group, 1], 1]];

（在/math//a/159159的回复中解释了这种有点不透明的计算，该计算表明该计算仅会产生图块的所有可能的旋转和反射，然后删除所有重复的结果。）

假设我们将瓷砖放置如下所示：

单元3、6和7在此放置中。由指标向量指定

{0，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0}

如果我们将此图块向右移动一列，则该指标向量将改为

{0，0，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，0，0，0，0}

尝试同时在这两个位置放置图块的组合取决于这些指标的总和，

{0，0，1，1，0，1，2，1，0，0，0，0，0，0，0，0}

第七位置的2表示这些重叠在一个单元格中（向下第二行，左起第三列）。因为我们不希望重叠，所以我们将要求任何有效解中向量的总和不得超过1。

事实证明，对于这个问题，瓷砖可能有29种方向和位置组合。（这是通过一些涉及穷举搜索的简单编码而发现的。）我们可以通过将它们的指示符绘制为列向量来描述所有29种可能性。（通常使用列而不是行。）这是结果数组的图片，它将包含16行（矩形中每个可能的单元格一个）和29列：

makeAllTiles[tile_, {n_Integer, m_Integer}] := 
  With[{ m0 = Length[tile], n0 = Length[First[tile]]},
   Flatten[
    Table[ArrayPad[tile, {{i, m - m0 - i}, {j, n - n0 - j}}],  {i, 0, m - m0}, {j, 0, n - n0}], 1]];
allTiles = Flatten[ParallelMap[makeAllTiles[#, ImageDimensions[regionImage]] & , tiles], 1];
allTiles = Parallelize[
   Select[allTiles, (regionVector . Flatten[#]) >= (Plus @@ (Flatten[#])) &]];
options = Transpose[Flatten /@ allTiles];

（前两个指标向量在左侧的前两列中显示。）敏锐的读者可能已经注意到了进行并行处理的几种机会：这些计算可能需要几秒钟的时间。

所有上述内容都可以使用矩阵表示法紧凑地重述：

• F是此选项数组，具有M行和N列。

• X是长度为N的一组瓷砖放置的指示器。

• b是1的N向量。

• R是该地区的指标；它是M向量。

与任何可能的解决方案X相关联的总“优度” 等于RFX，因为FX是X覆盖的像元的指标，而R的乘积将这些值相加。（如果希望解决方案偏爱或避开该地区的某些区域，可以对R进行加权。） 这将被最大化。 因为我们可以将其写为（RF）。X，它是一个线性的功能X：这是很重要的。（在下面的代码中，变量c包含RF。）

约束条件是该

1. X的所有元素必须为非负数；

2. X的所有元素必须小于1（这是b中的对应项）；

3. X的所有元素必须是整数。

约束（1）和（2）使它成为线性程序，而第三个要求使它成为整数线性程序。

存在许多用于解决以这种形式表示的整数线性程序的软件包。它们能够处理成千上万的M和N值。对于某些实际应用而言，这可能已经足够了。

作为我们的第一个插图，我使用Mathematica 8的LinearProgramming命令为上述示例计算了一个解决方案。（这将最小化通过否定目标函数的线性目标函数最小化，容易变成最大化。）。它返回的溶液（如瓷砖和它们的位置的列表）中0.011秒：

b = ConstantArray[-1, Length[options]];
c = -Flatten[region].options;
lu = ConstantArray[{0, 1}, Length[First[options]]];
x = LinearProgramming[c, -options, b, lu, Integers, Tolerance -> 0.05];
If[! ListQ[x] || Max[options.x] > 1, x = {}];
solution = allTiles[[Select[x Range[Length[x]], # > 0 &]]];

灰色单元格根本不在该区域中。白细胞未被该溶液覆盖。

您可以（手动）计算出许多其他与该瓷砖一样好的瓷砖-但您找不到更好的瓷砖。这是这种方法的一个潜在的局限性：它给你一个最佳的解决方案，即使有不止一个。（有一些解决方法：如果我们对X的列进行重新排序，问题仍然没有改变，但是结果是软件经常选择其他解决方案。但是，这种行为是无法预测的。）

作为第二个说明，为了更加现实，让我们考虑问题中的区域。通过导入图像并重新采样，我用69 x 81网格表示它：

该区域包含此网格的2156个单元。

为了使事情有趣，并说明线性编程设置的一般性，让我们尝试用两种矩形覆盖尽可能多的区域：

一个是17 x 9（153个单元），另一个是15 x 11（165个单元）。我们可能更喜欢使用第二个，因为它更大，但是第一个更紧身并且可以放在更狭窄的地方。让我们来看看！

该程序现在涉及N = 5589个可能的图块放置。相当大！经过6.3秒的计算，Mathematica提出了以下10位数解决方案：

由于有些松弛（例如，我们可以将底部的左图块向左移动四列），因此显然还有一些其他解决方案与该解决方案略有不同。

我对“ 寻找算法”中的一个类似问题的回答中提供了“ 关于用于多边形填充的遗传算法 ”的链接，以最小间距将约束区域内的最大点数放置？，可能会很有用。看来该方法可以通用化以处理任意容器形状（而不仅仅是矩形）。

对于您提到的高度受限的子集（坑洞中的正方形/三角形平铺），假设上面有显式优化，则此伪代码应通过简单地带您解决高分辨率问题，蛮力解决问题的方式得出近似答案。在单个磁贴旋转可以看到收益的情况下，例如矩形磁贴或高度不规则的容器，它无法正常工作。这是一百万次迭代，如有必要，您可以尝试更多。

假设边长为L的正方形

创建正方形的棋盘格图案，该图案至少是容器范围的尺寸，并且每个方向至少要有1L。

N = 0

DX = 0

DY = 0

DR = 0

将棋盘位置重置为原始质心

对于（R = 1：100）

对于（Y = 1：100）

对于（X = 1：100）

M =完全在容器中计数的平方数

如果（M> N）

DR = R

DY = Y

DX = X

N = M

向西移动棋盘L / 100

重置棋盘东

将棋盘向北移动L / 100

重置棋盘北

将棋盘绕其质心旋转3.6度

DY = DY * L

DX = DX *长

将棋盘重置为原始位置并旋转

打印DR＆“，”＆DX＆“和”＆DY＆“是最终的平移/旋转矩阵”

通过DR旋转棋盘格

由DX，DY翻译棋盘格

选择完全在容器内的正方形

出口广场